Funzione digamma

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In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:

\psi_0(x) := \frac{\operatorname d}{\operatorname dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} .

La funzione digamma talora viene anche denotata con \,\Psi(x) e talora anche \,\psi^0(x). Essa è collegata ai numeri armonici dalla uguaglianza

\,\psi_0(n) = H_{n-1}-\gamma

dove \,H_{n-1} denota il numero armonico n−1 e γ è la ben nota costante di Eulero - Mascheroni. Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di Gauss della funzione gamma

\Gamma\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n!n^s}{s\left(s+1\right)\left(s+2\right)...\left(s+n\right)}

da cui

\psi\left(s\right)=\frac{d}{ds}\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n! + s \ln n - \ln \left(s+1\right)-\ln\left(s+2\right)-...-\ln\left(s+n\right)\right)
\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \ln s -\ln \left(s+1\right)-\ln\left(s+2\right)-...\ln\left(s+n\right)\right)
\psi\left(s\right)=-\gamma + H_{s-1}

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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