Funzione gamma incompleta

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Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali.

Con le notazione di Abramowitz e Stegun:

 \Gamma(a,x)=\int_{x}^{\infty} e^{-t} t^{a-1} dt,

 \gamma(a,x)=\int_{0}^{x} e^{-t} t^{a-1} dt,

 P(a,x)=\frac 1 {\Gamma(a)}  \int_{0}^{x} e^{-t} t^{a-1} dt,

dove \Gamma(a) e la funzione gamma di Eulero.

Con le notazione di Nielsen:

 P_x(a)=\int_{0}^{x} e^{-t} t^{a-1} dt =\gamma(a,x) ,

 Q_x(a)=\int_{x}^{\infty} e^{-t} t^{a-1} dt=\Gamma(a,x),

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

\Gamma(a,x)+\gamma(a,x)=\Gamma(a)

 \Gamma(a,0)=\Gamma(a)

Relazione con altre funzioni speciali[modifica | modifica sorgente]

La funzione degli errori è una funzione gamma incompleta:

 \gamma(1/2,x^2)=\sqrt{\pi} \mathrm{erf}(x)

La funzione integrale esponenziale è una funzione gamma incompleta:

 \Gamma(0,x) = E_1(x)

È possibile esprimere la funzione \gamma(a,x) con la funzione ipergeometrica confluente o la funzione di Whittaker:

 \gamma(a,x)=a^{-1} x^{a} e^{-x} M(1,1+a,x)

Le derivate[modifica | modifica sorgente]

La derivate della funzione  \Gamma (a,x) superiore e incompleta rispetto alla variabile x è ben nota. Essa è semplicemente data dall’integranda della funzione integrale presente nella sua definizione, ovvero:


\frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial x} = - x^{a-1} e^{-x}

La derivata rispetto alla prima variabile invece è data da[1]

 \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial a} = \ln (x) \Gamma (a,x) + x ~T(3,a,x)

mentre la derivate seconda è data da

 \frac{\partial^2 \Gamma (a,x) }{\partial a^2} = \ln^2 (x) \Gamma (a,x) + 2 x ~ ( \ln (x) ~ T(3,a,x) + T(4,a,x) )

dove la funzione T(m,a,x) è un caso speciale della G-funzione di Meijer:

 T(m,a,z) = G_{m-1, m}^{~m,~0} \left( x  \left|  \begin{array}{c} 0,0, \ldots 0 \\ -1, -1, \ldots, a-1, -1 \end{array} \right. \right) ~.

Questo particolare caso speciale ha la proprietà di essere chiuso internamente ovvero può essere usato per esprimere tutte le derivate successive. In generale si ha che

 \frac{\partial^m \Gamma (a,x) }{\partial a^m} = \ln^m (x) \Gamma (a,x) + m x ~ \sum_{i=0}^{m-1} P_i^{m-1} \ln^{m-i-1} (x) ~ T(3+i,a,x)

dove P_j^i è la permutazione definita attraverso il simbolo di Pochhammer, ovvero


P_j^i = \left( \begin{array}{l} i \\ j \end{array} \right) j! = \frac{i!}{(i-j)!} ~ .

Tutte le derivate possono essere ottenute in successione partendo da

 \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial a} = \ln (x) ~ T(m,a,x) + (m-1) T(m+1,a,x)

e

 \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} (T(m-1,a,x) + T(m,a,x))

La funzione T(m,a,x) può essere calcolata usando la sua rappresentazione in serie che risulta essere valida quando  |z| < 1 , ovvero

 T(m,a,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left. (\Gamma (a-t) z^{t-1} ) \right]_{t=0} + \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i z^{a-1+i}}{i! (-a-i)^{m-1} }

Nell’espressione sopra si assume che s sia un intero non negativo o zero e il suo valore richiede il calcolo di un limite. Il caso  |z| \ge 1 può essere analizzato usando l’estensione analitica della funzione. Alcuni casi speciali di questa funzione sono

 T(2,a,x) = \frac{\Gamma(a,x)}{x}

e

  x ~ T(3,1,x) = E_1 (x)

dove  E_1 (x) è la funzione integrale esponenziale. Queste derivate e la funzione T(m,a,x) possono essere utilizzate per fornire soluzioni esatte ad un certo numero di integrali attraverso la derivazione ripetuta della definizione integrale della funzione gamma superiore e incompleta. Per esempio,


\int_{x}^{\infty} t^{a-1} \ln^m (t) ~ e^{-t} dt= \frac{\partial^m}{\partial a^m} \int_{x}^{\infty} t^{a-1} e^{-t} dt= \frac{\partial^m}{\partial a^m} \Gamma (a,x)

Questa formula può essere ulteriormente estesa o generalizzata per una ampia classe di trasformate di Laplace e di Mellin. Quando combinata con un sistema algebrico computerizzato, lo studio delle funzioni speciali fornisce un potente strumento per la soluzione di integrali definiti, in particolare quelli utilizzati nelle applicazioni ingegneristiche[2] (vedere anche integrazione simbolica per maggiori dettagli).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore e T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [1]
  2. ^ K.O. Geddes e T.C. Scott, Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 giugno 1989), editado por E. Kaltofen e S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [2]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica