Matrice S

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Disambiguazione – Se stai cercando la matrice di scattering nel campo delle microonde, vedi matrice di diffusione.

Teoria dello scattering
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All'interno della teoria quantistica dei campi i problemi di scattering (ovvero degli urti fra particelle) non possono essere trattati in maniera esatta se non in alcuni casi semplici. Uno degli approcci più usati è invece quello di supporre che gli stati iniziali e finali in cui si trova il sistema siano autostati dell'hamiltoniana libera (ovvero la parte dell'hamiltoniana che non contiene i termini che descrivono l'interazione fra le particelle). Lo stato iniziale è supposto nel passato remoto e lo stato finale nel futuro remoto. In questa approssimazione (nota come approssimazione adiabatica) è possibile scrivere l'operatore che proietta lo stato iniziale su quello finale come una matrice, nota come matrice di scattering o matrice S:

$\left|\psi(\infty)\right\rangle = S\left|\psi(-\infty)\right\rangle = S\left|i\right\rangle$

Lo stato nel futuro remoto sarà una sovrapposizione di stati $\left|f\right\rangle$ , la probabilità di osservarne uno particolare:

$\left|\left\langle f|\psi(\infty)\right\rangle\right|^2 = \left|\left\langle f|S|i\right\rangle\right|^2=\left|S_{fi}\right|^2$

L'elemento di matrice $S f i$ è quindi l'ampiezza di probabilità per la transizione $\left|i\right\rangle\to \left|f\right\rangle$ .

[modifica] Calcolo della matrice S

L'hamiltoniana che descrive un sistema può essere divisa in una parte non interagente $\hat{H}^0$ , che non contiene i termini di interazione fra le particelle ma ne descrive solo il moto libero, ed una hamiltoniana di interazione $\hat{H}^I$ .

In rappresentazione di Schrödinger vale l'Equazione di Schrödinger

$i \hbar \frac{\partial \left|\psi_S (t)\right\rangle}{\partial t} = H_S \left|\psi_S (t)\right\rangle$ .

Definiamo la rappresentazione di interazione come

$\left|\psi_I (t)\right\rangle = e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle$

e quindi possiamo scrivere

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi_I (t)\right\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left ( e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle \right ) = - H^0_S e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle + e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi_S (t)\right\rangle =$

$= - H^0_S \left|\psi_I (t)\right\rangle + e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle = -H^0_S \left|\psi_I (t)\right\rangle + H_S \left|\psi_I (t)\right\rangle = H^I_S \left|\psi_I (t)\right\rangle$

ovvero in rappresentazione di interazione gli stati evolvono seguendo l'hamiltoniana d'interazione.

Per ottenere la matrice S, definiamo i suoi elementi

$S_{f,i} = \left \langle \psi_f | \psi ( t = + \infty ) \right \rangle = \left \langle \psi_f | S | \psi_i \right \rangle$ .

Per calcolare $S f, i$ riscriviamo in forma integrale l'equazione di Schrödinger per le funzioni d'onda in rappresentazione di interazione:

$\left|\psi_I (t)\right\rangle = \left|\psi_I (t = - \infty)\right\rangle - i \hbar \int_{- \infty}^{t} d \tau H_S^I \left ( \tau \right ) \left|\psi_I ( \tau )\right\rangle$ .

Dato che $\left|\psi_I ( \tau )\right\rangle$ soddisfa un'equazione analoga è possibile iterare all'infinito questa equazione fino ad ottenere (approccio perturbativo):

$\left|\psi_I (t)\right\rangle = \left [ 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \int_{-\infty}^{t_2} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \right. \right.$

$\ldots \left. \left. \cdot H_S^I (t_n) \right ) \right ] \left|\psi_I (t = - \infty)\right\rangle$

e quindi abbiamo che

$S = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \int_{-\infty}^{t_2} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \cdot H_S^I (t_n) \right )$ . $=1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!}\int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{+\infty} dt_2 \int_{-\infty}^{+\infty} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{+\infty} dt_n T \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \cdot H_S^I (t_n) \right )$ ,

dove $T$ indica il prodotto cronologico degli operatori tra parentesi graffe:

$T\phi(x)\psi(y)=\theta(x^0-y^0)\left( \phi(x)\psi(y)\right)+\theta(y^0-x^0)\left(\psi(y)\phi(x)\right)$

e

$\theta\left(x^0-y^0\right)$

è la funzione a gradino di Heaviside.

Questo non è altro che uno sviluppo di Dyson della matrice $S$ . La matrice di scattering viene calcolata ai vari ordini (ovvero proseguendo la sommatoria fino ad un dato ordine) tramite il teorema di Wick.

[modifica] La sezione d'urto

Lo scopo finale del calcolo della matrice di scattering è ottenere la sezione d'urto (che è il parametro che può essere verificato sperimentalmente). La relazione fra la sezione d'urto e la matrice S è data da

$\operatorname {d} \sigma = \frac {\left | S_{fi} \right |^2}{T \left \| \vec J_{inc} \right \|} \operatorname {d} n_f$

dove J_inc è il flusso incidente e dn_f il numero di stati finali nel cono dΩ.

[modifica] Bibliografia

Matrice S nella meccanica quantistica
- M. L. Goldberger e K. M. Watson Collision Theory (John Wiley & Sons, NY, 1964)
- L. D. Landau e E. M. Lifshitz Meccanica Quantistica (Riuniti, Roma, 1980)
- R. G. Newton Scattering theory of waves and particles (Springer, Heidelberg, 1982)
Matrice S nella teoria dei campi quantistici
- G. F. Chew S matrix theory of strong interactions : a lecture note and reprint volume (Benjamin, Reading, MA, 1961)
- Steven C. Frautschi Regge poles and S matrix theory (Benjamin, Reading, MA, 1963)
- G. Barton Introduction to dispersion techniques in field theory (Benjamin, Reading, MA, 1965)
- G. F. Chew The Analytic S matrix : a basis for nuclear democracy (Benjamin, Reading, MA, 1966)
- Richard J. Eden, P.V. Landshoff, D.I. Olive e J.C. Polkinghorne The Analytic S Matrix (Cambridge University Press, 1966)
- D. Iagolnitzer The S Matrix (North-Holland, Amsterdam, 1978)

[modifica] Collegamenti esterni

F. Scarpa La storia dei programmi della Matrice S ATTI DEL XXII CONGRESSO NAZIONALE DI STORIA DELLA FISICA E DELL'ASTRONOMIA (Genova, giugno 2002)

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[modifica] Calcolo della matrice S

[modifica] La sezione d'urto

[modifica] Bibliografia

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