Matrice S

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In meccanica quantistica e nelle teorie di campo la matrice S è l'insieme di tutte le ampiezze delle transizioni possibili fra stati iniziali e stati finali dei processi di scattering. In base alla definizione, dato uno stato iniziale rappresentato dal vettore | a \rangle e uno finale rappresentato da | b \rangle l'elemento di matrice S M_{ab} sarà:

M_{ab} = \langle a|b \rangle

A partire dalla matrice S è possibile calcolare le sezioni d'urto e fornire quindi previsioni che possano essere verificate direttamente con gli esperimenti condotti negli acceleratori di particelle.

Calcolo della matrice S[modifica | modifica wikitesto]

All'interno della teoria quantistica dei campi i problemi di scattering (ovvero degli urti fra particelle) non possono essere trattati in maniera esatta se non in alcuni casi semplici. Uno degli approcci più usati è invece quello di supporre che gli stati iniziali e finali in cui si trova il sistema siano autostati dell'hamiltoniana libera (ovvero la parte dell'hamiltoniana che non contiene i termini che descrivono l'interazione fra le particelle). Lo stato iniziale è supposto nel passato remoto e lo stato finale nel futuro remoto, e in queste condizioni si suppone che le particelle siano sufficientemente distanti da poterle considerare non interagenti (approssimazione adiabatica). Si definiscono quindi due basi degli stati asintotici che descrivono le particelle osservate sperimentalmente come stati iniziali (stati "in") e come stati finali (stati "out"): la matrice unitaria che realizza il passaggio da una base all'altra è, per definizione, la matrice S stessa:

|\psi\rangle_{in} \equiv S|\psi\rangle_{out}\;;\quad|\psi\rangle_{out} \equiv S^{\dagger}|\psi\rangle_{in}

dove i pedici "in" ed "out" identificano la base e |\psi\rangle è un qualunque vettore di base degli stati asintotici. L'ampiezza di probabilità di osservare un processo di scattering con uno stato iniziale |a\rangle e come stato finale |b\rangle è data, per definizione, da:

prob.(a\to b)\equiv \,_{out}\langle b|a\rangle_{in}=\,_{out}\langle b|S|a\rangle_{out}
=\,_{in}\langle b|S|a\rangle_{in}\equiv S_{ba}

Ogni elemento di matrice S, sia nella base "in" che nella base "out", rappresenta quindi l'ampiezza di probabilità di un processo fisico. Si noti che gli stati a e b sono gli stati ideali definiti in assenza di interazione, cioè gli stati asintotici.

Notiamo che i vettori che identificano lo stato di vuoto e gli stati di singola particella sono gli stessi in entrambe le basi, ovvero gli elementi di matrice S sono, al più, delle fasi che possono essere poste ad 1 con un'opportuna scelta della fase dei vettori di base.

Calcolo della matrice S: serie di Dyson[modifica | modifica wikitesto]

L'hamiltoniana che descrive un sistema può essere divisa in una parte non interagente \hat{H}^0, che non contiene i termini di interazione fra le particelle ma ne descrive solo il moto libero, ed una hamiltoniana di interazione \hat{H}^I.

In rappresentazione di Schrödinger vale l'Equazione di Schrödinger

i \hbar \frac{\partial \left|\psi_S (t)\right\rangle}{\partial t} = H_S \left|\psi_S (t)\right\rangle.

Definiamo la rappresentazione di interazione come

\left|\psi_I (t)\right\rangle = e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle

e quindi possiamo scrivere

i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi_I (t)\right\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left ( e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle \right ) = - H^0_S e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle + e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\psi_S (t)\right\rangle =

= - H^0_S \left|\psi_I (t)\right\rangle + e^{\frac{i}{\hbar} H^0_S t} \left|\psi_S (t)\right\rangle = -H^0_S \left|\psi_I (t)\right\rangle + H_S \left|\psi_I (t)\right\rangle = H^I_S \left|\psi_I (t)\right\rangle

ovvero in rappresentazione di interazione gli stati evolvono seguendo l'hamiltoniana d'interazione.

Per ottenere la matrice S, definiamo i suoi elementi

S_{f,i} = \left \langle \psi_f | \psi ( t = + \infty ) \right \rangle = \left \langle \psi_f | S | \psi_i \right \rangle.

Per calcolare S_{f,i} riscriviamo in forma integrale l'equazione di Schrödinger per le funzioni d'onda in rappresentazione di interazione:

\left|\psi_I (t)\right\rangle = \left|\psi_I (t = - \infty)\right\rangle - i \hbar \int_{- \infty}^{t} d \tau H_S^I \left ( \tau \right ) \left|\psi_I ( \tau )\right\rangle.

Dato che \left|\psi_I ( \tau )\right\rangle soddisfa un'equazione analoga è possibile iterare all'infinito questa equazione fino ad ottenere (approccio perturbativo):

\left|\psi_I (t)\right\rangle = \left [ 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \int_{-\infty}^{t_2} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \right. \right.

\ldots \left. \left. \cdot H_S^I (t_n) \right ) \right ] \left|\psi_I (t = - \infty)\right\rangle

e quindi abbiamo che

S = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{t_1} dt_2 \int_{-\infty}^{t_2} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{t_{n-1}} dt_n \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \cdot H_S^I (t_n) \right ). =1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n!}\int_{-\infty}^{\infty} dt_1 \int_{-\infty}^{+\infty} dt_2 \int_{-\infty}^{+\infty} dt_3 \ldots \int_{-\infty}^{+\infty} dt_n T \left ( H_S^I (t_1) \cdot H_S^I (t_2) \cdot H_S^I (t_3) \cdot \ldots \cdot H_S^I (t_n) \right ),

dove T indica il prodotto cronologico degli operatori tra parentesi graffe:

T\phi(x)\psi(y)=\theta(x^0-y^0)\left( \phi(x)\psi(y)\right)+\theta(y^0-x^0)\left(\psi(y)\phi(x)\right)

e

\theta\left(x^0-y^0\right)

è la funzione a gradino di Heaviside.

Questo non è altro che uno sviluppo di Dyson della matrice S. La matrice di scattering viene calcolata ai vari ordini (ovvero proseguendo la sommatoria fino ad un dato ordine) tramite il teorema di Wick.

Calcolo della matrice S: formule LSZ[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Formule di riduzione LSZ.

Un modo alternativo di estrarre gli elementi di matrice S dalla teoria, più sofisticata e usata in particolare nella meccanica quantistica relativistica, non fa uso della serie di Dyson, bensì sfrutta le funzioni di Green fornite dalla formulazione con integrali funzionali della teoria. Si consideri ad esempio una teoria di particelle scalari \phi di massa m, con un'azione:

\mathcal{S}[\phi]=\int \text{d}^4 x \frac{1}{2}\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi -m^2\phi^2 \right) - V(\phi)

dove V(\phi) può essere, ad esempio, un termine di interazione \lambda\phi^4, che al momento non è necessario specificare. Le funzioni di Green a n punti sono definite come i valori di aspettazione sul vuoto del prodotto tempo-ordinato di n campi:

G^{(n)}(x_1,x_2,\dots,x_n)\equiv \langle 0 |T \left( \phi(x_1)\phi(x_2)\dots\phi(x_n) \right) |0\rangle=
\frac{\int \mathcal{D}\phi \,\phi(x_1)\phi(x_2)\dots\phi(x_n)\,e^{i\mathcal{S}}}{\int \mathcal{D}\phi \,e^{i\mathcal{S}}}\,.

Esse sono calcolabili perturbativamente attraverso il già citato teorema di Wick. Si dimostra che le trasformate di Fourier delle funzioni di Green hanno dei poli in corrispondenza delle masse fisiche delle particelle, ovvero quando p_i^2=m^2. A questi poli corrispondono proprio gli stati asintotici delle teoria: infatti questi stati sono creati e distrutti dai campi "in" ed "out", che soddisfano l'equazione di Klein-Gordon:

(\Box_x + m^2 ) \phi_{in}(x)=(\Box_x + m^2 ) \phi_{out}(x)=0\,,

che differisce dalle corrette equazioni del moto per l'assenza del potenziale di interazione. Di conseguenza, in modo intuitivo, è necessario estrarre il contributo polare delle funzioni di Green per ottenere le funzioni di Green costruite con i campi asintotici, che generano proprio gli elementi di matrice S desiderati. Se nello stato iniziale sono presenti m particelle di impulsi q1,...,qm e nello stato finale sono presenti n particelle di impulsi p1,...,pn, la formula che descrive il procedimento è data da:


\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{out}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{in}\rangle=\int
\prod_{i=1}^{m}
   \left\{
   \mathrm{d}^4x_i\ 
   i\frac{e^{-iq_i\cdot x_i}}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
   \left(\Box_{x_i}+m^2\right)
   \right\}\times

\times
\prod_{j=1}^{n}
   \left\{
   \mathrm{d}^4y_j\ 
   i\frac{e^{+ip_j\cdot y_j}}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
   \left(\Box_{y_j}+m^2\right)
   \right\}
G^{(n+m)}(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)

Il processo di estrazione del polo è più evidente se la formula è scritta in termini della trasformata di Fourier della funzione di Green. A parte la moltiplicazione per alcune costanti (tra cui le costanti di rinormalizzazione dei campi Z) la formula mostra che basta moltiplicare la funzione di Green per dei fattori p^2-m^2, che eliminano i poli, e poi mandare on-shell gli impulsi, ovvero eseguire il limite p^2\to m^2 corrispondente alle particelle fisiche:


\langle p_1,\ldots,p_n\ \mathrm{out}|q_1,\ldots,q_m\ \mathrm{in}\rangle=
\prod_{i=1}^{m}
   \left\{
   \frac{-i}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
   \left(p_i^2-m^2\right)
   \right\}\times

\times
\prod_{j=1}^{n}
   \left\{
   \frac{-i}{(2\pi)^{3/2} Z^{1/2}}
   \left(q_i^2-m^2\right)
   \right\}
\tilde{G}^{(n+m)}(p_1,\ldots,p_n;-q_1,\ldots,-q_m)

La sezione d'urto[modifica | modifica wikitesto]

Lo scopo finale del calcolo della matrice di scattering è ottenere la sezione d'urto (che è il parametro che può essere verificato sperimentalmente). La relazione fra la sezione d'urto e la matrice S è data da

\operatorname {d} \sigma = \frac {\left | S_{fi} \right |^2}{T \left \| \vec J_{inc} \right \|} \operatorname {d} n_f

dove Jinc è il flusso incidente e dnf il numero di stati finali nel cono dΩ.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Matrice S nella meccanica quantistica
    • M. L. Goldberger e K. M. Watson Collision Theory (John Wiley & Sons, NY, 1964)
    • L. D. Landau e E. M. Lifshitz Meccanica Quantistica (Riuniti, Roma, 1980)
    • R. G. Newton Scattering theory of waves and particles (Springer, Heidelberg, 1982)
  • Matrice S nella teoria dei campi quantistici
    • G. F. Chew S matrix theory of strong interactions: a lecture note and reprint volume (Benjamin, Reading, MA, 1961)
    • Steven C. Frautschi Regge poles and S matrix theory (Benjamin, Reading, MA, 1963)
    • G. Barton Introduction to dispersion techniques in field theory (Benjamin, Reading, MA, 1965)
    • G. F. Chew The Analytic S matrix: a basis for nuclear democracy (Benjamin, Reading, MA, 1966)
    • Richard J. Eden, P.V. Landshoff, D.I. Olive e J.C. Polkinghorne The Analytic S Matrix (Cambridge University Press, 1966)
    • D. Iagolnitzer The S Matrix (North-Holland, Amsterdam, 1978)

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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