Funzioni di Struve

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In matematica le funzioni di Struve sono funzioni speciali definibili a partire da un'equazione differenziale ordinaria.

Indice

[modifica] Definizione

Consideriamo la equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine non omogenea

z^2 \frac{d^2 w}{dz^2} + z \frac{d w}{dz} + (z^2-\nu^2)w = \frac{4(z/2)^{\nu+1}} {\sqrt{\pi} \Gamma(\nu+{1\over 2}) } .

Essa ha come corrispondente omogenea l'equazione di Bessel; dunque la sua soluzione generale ha una forma del tipo

w(z) = a J_\nu(z) + b Y_\nu(z) + \mathbf{H}_\nu(z) ,

dove a e b sono costanti arbitrarie, mentre \,J_\nu(z)\, e \,Y_\nu(z)\, denotano rispettivamente le funzioni di Bessel del primo e del secondo genere. La funzione \,\mathbf{H}_\nu(z)\, è una qualsiasi soluzione particolare dell'equazione differenziale precedenti; essa viene chiamata funzione di Struve di ordine ν.

[modifica] Sviluppi in serie

\mathbf{H}_\nu(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^{\nu+1} \, \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{ (\frac{z}{2})^{2k} } {\Gamma(k+\frac32)\Gamma(k+\nu+\frac32) }

\mathbf{H}_0(z) = \frac{2}{\pi} \,z\, \left[ 1 + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \prod_{j=1}^k \left(\frac{z}{2j+1}\right)^2 \right]

\mathbf{H}_1(z) = -\frac{2}{\pi} \, \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \prod_{j=1}^k \frac{z^2}{4j^2-1}

[modifica] Collegamenti con altre funzioni speciali

Le funzioni di Struve presentano collegamenti piuttosto stretti con varie funzioni speciali: funzioni di Bessel \,J_\nu(z)\, e \,Y_\nu(z)\,, funzioni di Bessel sferiche modificate \,I_\nu(z)\,, funzioni di Anger \mathbf{J}_\nu(iz), funzioni di Weber \mathbf{E}_\nu(iz) e funzioni di Struve modificate \mathbf{L}_\nu(iz).

[modifica] Collegamenti esterni

[modifica] Bibliografia

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