Q-serie ipergeometrica

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In matematica, le q-serie ipergeometriche, chiamate anche serie ipergeometriche basiche, sono generalizzazioni q-analoghe delle serie ipergeometriche ordinarie. Si definiscono comunemente due tipi di q-serie, le q-serie ipergeometriche unilaterali e le q-serie ipergeometriche bilaterali.

La terminologia viene stabilita in analogia con quella delle serie ipergeometriche ordinarie. Una serie ordinaria \sum_n x_n viene detta serie ipergeometrica (ordinaria) se il rapporto fra termini successivi x_{n+1}/x_n è una funzione razionale di n. Se invece il rapporto fra termini successivi è una funzione razionale di q^n, la serie corrispondente viene detta q-serie ipergeometrica.

Le q-serie ipergeometriche sono state analizzate per la prima volta da Eduard Heine nel XIX secolo, al fine di individuare caratteristiche comuni alle funzioni teta di Jacobi e alle funzioni ellittiche.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale in 2 k + 1 parametri e nella variabile z

\;_{k+1}\phi_k \left[\begin{matrix} 
a_0, & a_1, & a_2, & \ldots, & a_k \\ 
& b_1, & b_2, & \ldots, & b_k \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=0}^\infty  
\frac {(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_k;q)_n} {(q,b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} z^n

dove

(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n

è il q-fattoriale crescente.

La q-serie ipergeometrica bilaterale in 2 k parametri e nella variabile z viene definita come

\;_k\psi_k \left[\begin{matrix} 
a_1, & a_2, & \ldots, & a_k \\ 
b_1, & b_2, & \ldots, & b_k  \end{matrix} 
; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty  
\frac {(a_1, a_2, \ldots, a_k;q)_n} {(b_1, b_2, \ldots, b_k;q)_n} z^n .

Semplici esempi[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni semplici esempi di queste serie includono

\frac{z}{1-q} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q,& q \\ 
&q^2  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 
\frac{z}{1-q}
+ \frac{z^2}{1-q^2}
+ \frac{z^3}{1-q^3}
+ \ldots ,
\frac{z}{1-q^{1/2}} \;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q, & q^{1/2} \\ 
& q^{3/2}  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 
\frac{z}{1-q^{1/2}}
+ \frac{z^2}{1-q^{3/2}}
+ \frac{z^3}{1-q^{5/2}}
+ \ldots

e

\;_{2}\phi_1 \left[\begin{matrix} 
q, & -1 \\ 
& -q  \end{matrix}\;  ; q,z \right] = 1+
\frac{2z}{1+q}
+ \frac{2z^2}{1+q^2}
+ \frac{2z^3}{1+q^3}
+ \ldots

Semplici identità[modifica | modifica wikitesto]

Tra le identità più semplici segnaliamo

\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = \prod_{n=0}^\infty 
\frac {1-aq^n z}{1-q^n z}

e

\;_{1}\phi_0 (a;q,z) = 
\frac {1-az}{1-z} \;_{1}\phi_0 (a;q,qz)

Il caso particolare relativo ad a=0 è strettamente collegato alla funzione q-esponenziale.

Identità di Ramanujan[modifica | modifica wikitesto]

Ramanujan ha scoperto l'identità

\;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right] 
= \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} 
= \frac {(b/a;q)_\infty\; (q;q)_\infty\; (q/az;q)_\infty\; (az;q)_\infty }
{(b;q)_\infty\; (b/az;q)_\infty\; (q/a;q)_\infty\; (z;q)_\infty}

valida per |q|<1 e |b/a| < |z| < 1. Una fondamentale identità simile alla precedente concernente \,_6\psi_6 è stata data da Bailey. Si è capito che tale identità è una generalizzazione del teorema del triplo prodotto di Jacobi, il quale può essere scritto mediante la q-serie come

\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n = 
(q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty .

Inoltre questa identità generalizza anche una analoga identità concernente un prodotto quintuplo.

Ken Ono propone una serie formale di potenze collegata

A(z;q) = \frac{1}{1+z} \sum_{n=0}^\infty 
\frac{(z;q)_n}{(-zq;q)_n}z^n = 
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n} q^{n^2}.

q-serie ipergeometrica generalizzata[modifica | modifica wikitesto]

In generale, seguendo Gasper e Rahman, si definisce q-serie ipergeometrica unilaterale secondo Gasper in r + s + 1 parametri e nella variabile z

\;_{r+1}\phi_s \left[\begin{matrix} 
a_0, & a_1, & a_2, & \ldots, & a_r \\ 
& b_1, & b_2, & \ldots, & b_s \end{matrix} 
; q,z \right] :\!= \sum_{n=0}^\infty  
\{(-1)^nq^{n\choose 2}\}^{s-r}
\frac {(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_r;q)_n} {(q,b_1, b_2, \ldots, b_s;q)_n} z^n

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]


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