Funzione q-esponenziale

Nella matematica combinatoria e nello studio delle funzioni speciali il termine q-esponenziale viene usato per due q-analoghi della classica funzione esponenziale.

Definizioni

Consideriamo le seguenti funzioni

$e_q(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(q;q)_n} = \prod_{n=0}^\infty(1-zq^n)^{-1} =\frac{1}{(z;q)_\infty}$

e

$E_q(z) := \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n\choose 2} z^n }{(q;q)_n} = \prod_{n=0}^\infty (1+q^n z) = (-z;q)_\infty$ .

dove

$(z;q)_n := (1-z)(1-zq)\cdots(1-zq^{n-1})$

è il q-fattoriale crescente. Che la prima funzione costituisca un q-analogo dell'esponenziale ordinario segue dalla proprietà

$\left(\frac{d}{dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z)$

dove l'operatore di derivazione a sinistra è la q-derivata. L'identità precedente si verifica facilmente considerando la q-derivata del monomio

$\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q} =[n]_q z^{n-1}$ .

Qui $[n]_q$ denota il q-bracket.

Proprietà

Per q reale con $q<1$ la funzione $e_q(z)$ è una funzione intera di z.

Espressione ipergeometrica

In termini della q-serie ipergeometrica, la prima funzione q-esponenziale $e_q(t)$ viene espressa da

$e_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z)$ .

Esiste una simile espressione per la seconda funzione in termini della q-serie ipergeometrica generalizzata.

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