Funzione q-esponenziale

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Nella matematica combinatoria e nello studio delle funzioni speciali il termine q-esponenziale viene usato per due q-analoghi della classica funzione esponenziale.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo le seguenti funzioni

e_q(z) :=
\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(q;q)_n} = 
\prod_{n=0}^\infty(1-zq^n)^{-1}
=\frac{1}{(z;q)_\infty}

e

E_q(z) :=
\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n\choose 2}  z^n }{(q;q)_n} = 
\prod_{n=0}^\infty (1+q^n z) = (-z;q)_\infty .

dove

(z;q)_n := (1-z)(1-zq)\cdots(1-zq^{n-1})

è il q-fattoriale crescente. Che la prima funzione costituisca un q-analogo dell'esponenziale ordinario segue dalla proprietà

\left(\frac{d}{dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z)

dove l'operatore di derivazione a sinistra è la q-derivata. L'identità precedente si verifica facilmente considerando la q-derivata del monomio

\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q}
=[n]_q z^{n-1} .

Qui [n]_q denota il q-bracket.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Per q reale con q<1 la funzione e_q(z) è una funzione intera di z.

Espressione ipergeometrica[modifica | modifica sorgente]

In termini della q-serie ipergeometrica, la prima funzione q-esponenziale e_q(t) viene espressa da

e_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) .

Esiste una simile espressione per la seconda funzione in termini della q-serie ipergeometrica generalizzata.


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