Funzioni integrali trigonometriche

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In matematica l'espressione funzioni integrali trigonometriche fa riferimento ad una famiglia di funzioni definite mediante integrali di funzioni trigonometriche.

Seno[modifica | modifica wikitesto]

Grafico di Si(x) per 0 ≤ x ≤ 8 π.

Esistono due definizioni del seno integrale:

\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt
\operatorname{si}(x) = -\int_x^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt

Per definizione \operatorname{Si}(x) è la primitiva della funzione sinc \sin(x) /x che si annulla nell'origine, mentre \operatorname{si}(x) è la primitiva che si annulla all'infinito.

Se si considera il seno integrale come la convoluzione della funzione sinc con la funzione gradino di Heaviside, ciò corrisponde a troncare la serie di Fourier, ed è pertanto un modo per descrivere il fenomeno di Gibbs.

Coseno[modifica | modifica wikitesto]

Grafico di Ci(x) per 0 < x ≤ 8π.

Vi sono diverse definizioni del coseno integrale:

\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^{+\infty} \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\,dt
\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt

dove \gamma è la costante di Eulero-Mascheroni.

La funzione \operatorname{Ci}(x) è la primitiva di \cos(x) /x (che si annulla all'infinito). Le due definizioni sono legate dalla relazione:

\operatorname{Cin}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Ci}(x)

Seno iperbolico[modifica | modifica wikitesto]

Il seno iperbolico integrale ha la forma:

\operatorname{Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = \operatorname{shi}(x)
\operatorname{Shi}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2(2n)!}=x+\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}+\frac{x^7}{7! \cdot7}+\cdots

Coseno iperbolico[modifica | modifica wikitesto]

Il coseno iperbolico integrale è:

{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x \frac{\cosh t-1}{t} \; \text{d}t = {\rm chi}(x)

Scrittura alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando le funzioni:

f(x) 
\equiv \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t+x} dt = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} dt 
= \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)

g(x)
\equiv \int_0^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t+x} dt = \int_0^{+\infty} \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} dt 
= -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)

l'integrale trigonometrico può essere riscritto come:[1]


\begin{array}{rcl}
\operatorname{Si}(x) &=& \frac{\pi}{2} - f(x) \cos(x) - g(x) \sin(x) \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x) \\
\end{array}

Espansioni[modifica | modifica wikitesto]

L'espansione dell'integrale trigonometrico in serie asintotica:

\operatorname{Si}(x)=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)
\operatorname{Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)

è una serie divergente, utilizzata per valutare l'integrale per \mathrm{Re}(x) >> 1.

L'espansione:

\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

è invece convergente per ogni x \in \C, sebbene per |x| >> 1 la serie converga inizialmente in modo lento, richiedendo molti termini per una stima precisa.

Esponenziale integrale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzione integrale esponenziale.

La funzione integrale esponenziale:

 \operatorname{E}_1(z) = \int_1^{+\infty} \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad \mathrm{Re}(z) \ge 0

è strettamente legata con \operatorname{Si}(x) e \operatorname{Ci}(x):


\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad x>0

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Exponential Integral and Related Functions

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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