Ipersfera

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Proiezione stereografica dei paralleli (rosso), meridiani (blu) e ipermeridiani (verde) di una ipersfera. Grazie alla proprietà di proiezione conforme della sterografica, i tre tipi di curva si intersecano in modo ortogonale fra di loro (nei punti gialli), come succede in 4 dimensioni. Tutte le curve succitate sono circonferenze: quelle che passano per il centro di proiezione <0,0,0,1> hanno raggio infinito (sono linee rette).

In matematica, e in particolare in geometria, una ipersfera è l'analogo di una sfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di raggio r nello spazio euclideo n-dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza r da un dato punto fissato, chiamato il centro dell'ipersfera.

Proprietà elementari[modifica | modifica wikitesto]

Il "volume" di tale ipersfera è dato da:

V_n(r) = \frac{ {\pi^{\frac{n}{2}}}} {\Gamma(\frac{n}{2}+1)} r^n

dove Γ denota la funzione gamma.

La "area superficiale" dell'ipersfera è invece data da:

S_n(r) = \frac{ {2\pi^{\frac{n}{2}}}} {\Gamma(\frac{n}{2})} r^{n-1}

È interessante notare come, al tendere del numero di dimensioni ad infinito, superficie e volume tendano a zero indipendentemente dal raggio:

\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n(r) = \lim_{n \rightarrow +\infty} V_n(r) = 0

Terminologia[modifica | modifica wikitesto]

La sfera Sn di dimensione n è il bordo di Dn+1, la palla di dimensione n+1.

Ad esempio, la circonferenza S1 è il bordo del cerchio D2.

Coordinate ipersferiche[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo definire un sistema di coordinate in uno spazio euclideo n-dimensionale analogo al sistema delle coordinate sferiche definito per lo spazio euclideo 3-dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale \ r, ed \ n-1 coordinate angolari \ \phi _1 , \phi _2 , ... , \phi _{n-1}. Se \ x_i sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire

x_1=r\cos(\phi_1)
x_2=r\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)
x_3=r\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)
\cdots
x_{n-1}=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\cos(\phi_{n-1})
x_n~~\,=r\sin(\phi_1)\cdots\sin(\phi_{n-2})\sin(\phi_{n-1})

Da queste si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:

\tan(\phi_{n-1})=\frac{x_n}{x_{n-1}}
\tan(\phi_{n-2})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}{x_{n-2}}
\cdots
\tan(\phi_{1})=\frac{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots+{x_2}^2}}{x_{1}}

Si noti che l'ultimo angolo \phi _{n-1} varia in un intervallo di 2\pi mentre gli altri angoli variano di \pi. Questo intervallo copre l'intera sfera.

L'elemento di volume nello spazio euclideo n-dimensionale si ottiene dallo Jacobiano della trasformazione:

d_{\mathbb{R}^n}V = 
\left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right|
dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}
=r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\,
dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}

e l'equazione per il volume della n-sfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:

V_n=\int_{r=0}^R \int_{\phi_1=0}^\pi
\cdots \int_{\phi_{n-2}=0}^\pi\int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi}d_{\mathbb{R}^n}V.

L'elemento di volume della (n-1)–sfera, che generalizza l'elemento d'area della 2-sfera, è dato da:

d_{S^{n-1}}V = 
\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\, d\phi_1 \, d\phi_2\ldots d\phi_{n-1}

Pubblicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Franco Eugeni e Franco Mancinelli, sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno "La metodologia storica nell’insegnamento della Matematica e della Fisica", Atti Convegno Mathesis, Ripattoni di Bellante, 1998.

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