Teorema egregium

Il teorema egregium è un risultato di geometria differenziale che afferma che la curvatura gaussiana è una grandezza intrinseca di una superficie, cioè indipendente da trasformazioni isometriche.

La curvatura gaussiana di una superficie $M$ in un punto è definita come il prodotto delle due curvature principali nel punto o, equivalentemente, come il determinante dell'hessiano di una parametrizzazione $f:A \subseteq \R^2 \to \R^3$ della superficie stessa.

L'enunciato del teorema afferma precisamente che la curvatura gaussiana $K$ di una superficie è invariante per isometrie locali.

Dimostrazione

Sapendo che
$\begin{align} e &= \langle x_{uu}, N\rangle= \dfrac{x_{uu}\cdot x_u \wedge x_v}{\sqrt{EG-F^2}} \\ f &= \langle x_{uv}, N\rangle= \dfrac{x_{uv}\cdot x_u \wedge x_v}{\sqrt{EG-F^2}} \\ g &= \langle x_{vv}, N\rangle= \dfrac{x_{vv}\cdot x_u \wedge x_v}{\sqrt{EG-F^2}} \end{align}$
dove e, f e g sono i coefficienti della seconda forma fondamentale. Sostituendo le precedenti nell'espressione
$K=\dfrac{eg-f^2}{EG-F^2}$ otteniamo:

$\begin{align} K(EG-F^2)^2 &= (eg-f^2)(EG-F^2)= \\ &= (x_{uu}\cdot x_u \wedge x_v)(x_{vv}\cdot x_u \wedge x_v)-(x_{uv}\cdot x_u \wedge x_v)^2. \end{align}$
Esprimendo ognuno dei fattori come determinante di prodotti di matrici otteniamo:

$\begin{align} & K(EG-F^2)^2= \begin{vmatrix} x_{uu} \\ x_u \\ x_v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x_{vv} \\ x_u \\ x_v \end{vmatrix}^t - \begin{vmatrix} x_{uv} \\ x_u \\ x_v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x_{uv} \\ x_u \\ x_v \end{vmatrix}^t = \\ &=\begin{vmatrix} x_{uu}\cdot x_{vv} & x_{uu} \cdot x_u & x_{uu} \cdot x_v \\ x_{vv} \cdot x_u & E & F \\ x_{vv} \cdot x_v & F & G \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} x_{uv}\cdot x_{uv} & x_{uv} \cdot x_u & x_{uv} \cdot x_v \\ x_{uv} \cdot x_u & E & F \\ x_{uv} \cdot x_v & F & G \end{vmatrix} = \\ &=(x_{uu} \cdot x_{vv}-x_{uv} \cdot x_{uv}) \begin{vmatrix} E & F \\ F & G \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & x_{uu} \cdot x_u & x_{uu} \cdot x_v \\ x_{vv} \cdot x_u & E & F \\ x_{vv} \cdot x_v & F & G \end{vmatrix} + \\ &- \begin{vmatrix} 0 & x_{uv} \cdot x_u & x_{uv} \cdot x_v \\ x_{uv} \cdot x_u & E & F \\ x_{uv} \cdot x_v & F & G \end{vmatrix}. \end{align}$

Ora consideriamo le seguenti identità:

$\begin{align} x_{uu} \cdot x_u = \frac{1}{2}E_u &\quad x_{uv} \cdot x_u = \frac{1}{2}E_v \\ x_{vv} \cdot x_v = \frac{1}{2}G_v &\quad x_{uu} \cdot x_v = F_u -\frac{1}{2}E_v \\ x_{uv} \cdot x_v = \frac{1}{2}G_u &\quad x_{vv} \cdot x_u = F_u -\frac{1}{2}G_u, \end{align}$

dalle quali deduciamo:
$x_{uu} \cdot x_{vv} - x_{uv} \cdot x_{uv} = \dfrac{d}{dv}(x_{uu} \cdot x_v)- \dfrac{d}{du}(x_{uv} \cdot x_v)= F_{uv} -\frac{1}{2}E_{vv}-\frac{1}{2}G_{uu}.$
Sostituendo nell'espressione ottenuta precedentemente otteniamo infine:

$\begin{align} K &= \dfrac{1}{(EG-F^2)^2}\left\lbrace \left( F_{uv} -\frac{1}{2}E_{vv}-\frac{1}{2}G_{uu} \right) \begin{vmatrix} E & F \\ F & G \end{vmatrix} +\right. \\ &+\left. \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v \\ F_v-\frac{1}{2}G_u & E & E \\ \frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u \\ \frac{1}{2}E_v & E & F \\ \frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right\rbrace . \end{align}$

Così abbiamo espresso $K$ per mezzo di $E$, $F, G$ e delle loro derivate prime e seconde, e mostra che $K$ è invariante per isometrie.

Voci correlate

• Superficie parametrica

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