Superficie parametrica

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Una parametrizzazione è un'applicazione \tau : V \subset \R^n \longrightarrow \R^m infinitamente differenziabile in V aperto e connesso. Per n = 2 e m=3 l'immagine di questa applicazione è una superficie parametrizzata.

Una superficie parametrica è una superficie differenziabile rappresentata in un sistema di coordinate parametrico del tipo:

1) \ \Sigma : \begin{cases} x = \phi(u,v) \\ y = \psi(u,v) \\ z = \chi (u,v) \end{cases}

Una superficie si dice regolare se soddisfa le seguenti proprietà:

  • \phi(u,v),\psi(u,v),\chi(u,v) \in C^1(A), cioè devono essere funzioni continue con derivata continua in un insieme aperto A.
  • La matrice Jacobiana \frac{\partial(\phi,\psi,\chi)}{\partial(u,v)} = \begin{bmatrix} \phi_u & \psi_u & \chi_u \\ \phi_v & \psi_v & \chi_v \end{bmatrix}, abbia rango uguale a due, cioè le derivate non si annullino mai in uno stesso punto. Questa proprietà equivale a che la somma dei quadrati dei minori di ordine due sia positiva.
  • La corrispondenza tra V e R^3 sia iniettiva.

Linee coordinate[modifica | modifica sorgente]

Una superficie è un oggetto bidimensionale e quindi vive nello spazio tridimensionale, per questo motivo i punti della superficie sono identificati da tre variabili: al variare dei punti (u,v) nel dominio A si trovano i punti dello spazio (x,y,z). (u,v) sono detti parametri coordinati.

Se sul dominio A prendiamo un punto t_0, per esso passeranno due curve: u(t_0) = u_0 ,v(t_0) = v_0 . In corrispondenza a questo punto sulla superficie vi sarà un punto:

(x_0,y_0,z_0) = (x(u_0,v_0), y(u_0,v_0), z(u_0,v_0))

cui corrisponderanno le curve:

2) \ \begin{cases} x = \phi(u_0,v_0) \\ y = \psi(u_0,v_0) \\ z = \chi (u_0,v_0) \end{cases}

Pensiamo allora di ricavare le tangenti e le normali in questo punto. Fissiamo prima un valore dei parametri coordinati e poi l'altro, otterremo una famiglia di curve, che si chiamano linee coordinate (che possono essere anche ortogonali):

3) \ \begin{cases} \phi (u,v_0), \psi (u,v_0), \chi (u,v_0) \\ \phi (u_0,v), \psi (u_0,v), \chi (u_0,v) \end{cases}

Da queste possiamo ricavare i vettori tangenti derivando:

4) \ \begin{cases} \vec T_u = \{ \phi_u (u,v_0), \psi_u (u,v_0), \chi_u (u,v_0) \} \\ \vec T_v = \{ \phi_v (u_0,v), \psi_v (u_0,v), \chi_v (u_0,v) \} \end{cases}

e i vettori normali:

5) \ \vec n = \pm \vec T_u \times \vec T_v

I versori normali sono dati:

6) \ \hat n = \pm \frac{\vec T_u \times \vec T_v}{\sqrt{(\vec T_u \times \vec T_v)^2}}

Piano tangente[modifica | modifica sorgente]

Una superficie regolare parametrica ammette sempre piano tangente in un punto P_0 = (x_0,y_0,z_0) dato dalla:

7) \ \begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ \phi_u (u_0,v_0) & \psi_u (u_0,v_0) & \chi_u (u_0,v_0) \\ \phi_v (u_0,v_0) & \psi_v (u_0,v_0) & \chi_v (u_0,v_0) \end{vmatrix} = 0

Il piano tangente ad una superficie parametrica è un sottospazio vettoriale di dimensione 2 ed è il luogo geometrico che contiene tutte le tangenti in quel punto.

Prima forma differenziale di Gauss[modifica | modifica sorgente]

A questo punto possiamo considerare il problema di come si rappresentano le curve tracciate sulla superficie 2), cioè alle proprietà metriche della superficie e fondamentale il calcolo di area di una superficie. Per fare questo prendiamo il vettore tangente del piano A, nel punto t_0: u'(t_0),v'(t_0). A questo vettore corrisponde un vettore tangente sulla superficie \Sigma:

u'(t_0) \cdot T_u + v'(t_0) \cdot T_v

Come si modifica la lunghezza di questo vettore sulla superficie? Costruiamo il differenziale del vettore:

8) \ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = \left( \frac{\partial x}{\partial u} du + \frac{\partial x}{\partial v} dv \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial u} du + \frac{\partial y}{\partial v} dv \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv \right)^2

Ora dobbiamo eseguire i quadrati con la sostituzione: \frac{\partial x}{\partial u} du = \phi_u(u,v) du e così via per tutte le derivate, otteniamo la prima forma differenziale di Gauss:

9) \ ds^2 = E du^2 + F du dv + G dv^2

dove:

10) \ E = \| T_u \|^2 = \phi_{u}^{2} + \psi_{u}^{2} + \chi_{u}^{2}

10) \ F = \langle T_u, T_v \rangle = \phi_{u} \cdot \phi_{v} + \psi_{u} \cdot \psi_{v} + \chi_{u} \cdot \chi_{v}

10) \ G = \| T_v\|^2 = \phi_{v}^{2} + \psi_{v}^{2} + \chi_{v}^{2}

Allo stesso risultato potevamo arrivare prendendo il prodotto scalare: \vec u \cdot \vec v.

Allora la lunghezza di un segmento sulla superficie è:

11) \ Lung(x(u(t_1),v(t_2))y,z) = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{Eu'^2 + 2 Fu'v' + G v'^2} \ dt

Ora ci chiediamo come si trasforma un elemento di superficie dS:

12) \ dS = |T_u \cdot du \times T_v \cdot dv| = |T_u \times T_v| du dv

Quadrando la 12), otteniamo proprio le 10). Dunque l'elemento di superficie si trasforma:

13) \ dS = \sqrt{EG - F^2} \ dudv

dove I_G = EG-F^2 è la prima forma quadratica di Gauss o prima forma differenziale di Gauss.

Da questa è possibile calcolare l'area di una superficie:

Area(\Sigma) = \iint_{A} dS = \iint_{A} \sqrt{EG - F^2} \ dudv

e anche un qualsiasi integrale di superficie:

I = \iint_{A} f(x,y,z) dS = \iint_{A} F(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \sqrt{EG - F^2} \ dudv.

Da queste due ultime osservazioni circa il calcolo degli integrali, si vede che la prima forma differenziale di Gauss è un determinante:

det \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} = EG -F^2

e poiché i coefficienti non sono altro che i coefficienti di una metrica sulla superficie allora questa matrice è un tensore metrico.

Seconda forma differenziale di Gauss[modifica | modifica sorgente]

La seconda forma quadratica è una proprietà intrinseca della superficie, e rappresenta le proprietà di curvatura della stessa. Essa può essere ricavata direttamente dalla prima forma differenziale di Gauss e dai vettori tangente e normale.

Sia dunque \hat n il versore normale ottenibile dal vettore normale:

\vec n = \pm \vec T_u \times \vec T_v \Longrightarrow  \hat n = \pm \frac{\vec T_u \times \vec T_v}{\sqrt{(\vec T_u \times \vec T_v)^2}}

Dalla prima forma differenziale di Gauss:

\hat n = \pm \frac{\vec T_u \times \vec T_v}{\sqrt{EG - F^2}}

Allora i coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss:

\vec T_{uu} \cdot \hat n = L

\vec T_{uv} \cdot \hat n = M

\vec T_{vv} \cdot \hat n = N


Da cui otteniamo la seconda forma differenziale (o quadratica) di Gauss:

II_G = L (du)^2 + 2M dudv + N (dv)^2

Dunque li possiamo esplicitare:

L = \frac{\begin{vmatrix} x_{uu} & x_u & x_v \\ y_{uu} & y_u & y_v \\ z_{uu} & z_u & z_v \end{vmatrix}}{\sqrt{EG-F^2}}

M = \frac{\begin{vmatrix} x_{uv} & x_u & x_v \\ y_{uv} & y_u & y_v \\ z_{uv} & z_u & z_v \end{vmatrix}}{\sqrt{EG-F^2}}

N = \frac{\begin{vmatrix} x_{vv} & x_u & x_v \\ y_{vv} & y_u & y_v \\ z_{vv} & z_u & z_v \end{vmatrix}}{\sqrt{EG-F^2}}

Curvature normali[modifica | modifica sorgente]

Si chiama curvatura normale della superficie \Sigma in un punto P nella direzione della linea u e della linea v rispettivamente, la funzione:

k(P,u) = I\!I_G \left( \frac{u}{\|u\|}, \frac{u}{\|u\|} \right)
k(P,v) = I\!I_G \left( \frac{v}{\|v\|}, \frac{v}{\|v\|} \right)

Curvature principali e curvatura di Gauss[modifica | modifica sorgente]

Sono dette curvature principali i due valori, massimo e minimo, della curvatura normale corrispondenti ai due versi del piano tangente (a seguito dei due versori normali). Indicando con k_1(P), k_2(P) le curvature principali di una superficie in un punto P, allora si chiama curvatura Gaussiana o curvatura totale:

K(P) = k_1(P) \ k_2(P)

e definiamo anche la curvatura media:

H(P) = \frac{k_1(P) + k_2(P)}{2}

Per quanto riguarda la curvatura di Gauss, è in generale difficile trovare le due direzioni secondo le quali le curvature principali sono valori massimi e minimi. Il criterio è fornito dall'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore di Weingarten.

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

Dalle forme differenziali di Gauss possiamo ricavare molte informazioni riguardo alle caratteristiche geometriche delle superfici parametriche.

  1. La curvatura delle curve sulla superficie seguono dal Teorema di Meusnier e dall'operatore di Weingarten.
  1. La curvatura della superficie segue dal teorema egregium di Gauss
  1. Teorema di Dupin

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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