Superficie parametrica

Una parametrizzazione è un'applicazione $\tau : V \subset \R^n \longrightarrow \R^m$ infinitamente differenziabile in V aperto e connesso. Per n = 2 e m=3 l'immagine di questa applicazione è una superficie parametrizzata.

Una superficie parametrica è una superficie differenziabile rappresentata in un sistema di coordinate parametrico del tipo:

$1) \ \Sigma : \begin{cases} x = \phi(u,v) \\ y = \psi(u,v) \\ z = \chi (u,v) \end{cases}$

Una superficie si dice regolare se soddisfa le seguenti proprietà:

• $\phi(u,v),\psi(u,v),\chi(u,v) \in C^1(A)$, cioè devono essere funzioni continue con derivata continua in un insieme aperto A.

• La matrice Jacobiana $\frac{\partial(\phi,\psi,\chi)}{\partial(u,v)} = \begin{bmatrix} \phi_u & \psi_u & \chi_u \\ \phi_v & \psi_v & \chi_v \end{bmatrix}$, abbia rango uguale a due, cioè le derivate non si annullino mai in uno stesso punto. Questa proprietà equivale a che la somma dei quadrati dei minori di ordine due sia positiva.

• La corrispondenza tra $V$ e $R^3$ sia iniettiva.

Linee coordinate

Una superficie è un oggetto bidimensionale e quindi vive nello spazio tridimensionale, per questo motivo i punti della superficie sono identificati da tre variabili: al variare dei punti $(u,v)$ nel dominio A si trovano i punti dello spazio $(x,y,z)$. $(u,v)$ sono detti parametri coordinati.

Se sul dominio A prendiamo un punto $t_0$, per esso passeranno due curve: $u(t_0) = u_0 ,v(t_0) = v_0$. In corrispondenza a questo punto sulla superficie vi sarà un punto:

$(x_0,y_0,z_0) = (x(u_0,v_0), y(u_0,v_0), z(u_0,v_0))$

cui corrisponderanno le curve:

$2) \ \begin{cases} x = \phi(u_0,v_0) \\ y = \psi(u_0,v_0) \\ z = \chi (u_0,v_0) \end{cases}$

Pensiamo allora di ricavare le tangenti e le normali in questo punto. Fissiamo prima un valore dei parametri coordinati e poi l'altro, otterremo una famiglia di curve, che si chiamano linee coordinate (che possono essere anche ortogonali):

$3) \ \begin{cases} \phi (u,v_0), \psi (u,v_0), \chi (u,v_0) \\ \phi (u_0,v), \psi (u_0,v), \chi (u_0,v) \end{cases}$

Da queste possiamo ricavare i vettori tangenti derivando:

$4) \ \begin{cases} \vec T_u = \{ \phi_u (u,v_0), \psi_u (u,v_0), \chi_u (u,v_0) \} \\ \vec T_v = \{ \phi_v (u_0,v), \psi_v (u_0,v), \chi_v (u_0,v) \} \end{cases}$

e i vettori normali:

$5) \ \vec n = \pm \vec T_u \times \vec T_v$

I versori normali sono dati:

$6) \ \hat n = \pm \frac{\vec T_u \times \vec T_v}{\sqrt{(\vec T_u \times \vec T_v)^2}}$

Piano tangente

Una superficie regolare parametrica ammette sempre piano tangente in un punto $P_0 = (x_0,y_0,z_0)$ dato dalla:

$7) \ \begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ \phi_u (u_0,v_0) & \psi_u (u_0,v_0) & \chi_u (u_0,v_0) \\ \phi_v (u_0,v_0) & \psi_v (u_0,v_0) & \chi_v (u_0,v_0) \end{vmatrix} = 0$

Il piano tangente ad una superficie parametrica è un sottospazio vettoriale di dimensione 2 ed è il luogo geometrico che contiene tutte le tangenti in quel punto.

Prima forma differenziale di Gauss

A questo punto possiamo considerare il problema di come si rappresentano le curve tracciate sulla superficie 2), cioè alle proprietà metriche della superficie e fondamentale il calcolo di area di una superficie. Per fare questo prendiamo il vettore tangente del piano A, nel punto $t_0$: $u'(t_0),v'(t_0)$. A questo vettore corrisponde un vettore tangente sulla superficie $\Sigma$:

$u'(t_0) \cdot T_u + v'(t_0) \cdot T_v$

Come si modifica la lunghezza di questo vettore sulla superficie? Costruiamo il differenziale del vettore:

$8) \ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = \left( \frac{\partial x}{\partial u} du + \frac{\partial x}{\partial v} dv \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial u} du + \frac{\partial y}{\partial v} dv \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv \right)^2$

Ora dobbiamo eseguire i quadrati con la sostituzione: $\frac{\partial x}{\partial u} du = \phi_u(u,v) du$ e così via per tutte le derivate, otteniamo la prima forma differenziale di Gauss:

$9) \ ds^2 = E du^2 + F du dv + G dv^2$

dove:

$10) \ E = \| T_u \|^2 = \phi_{u}^{2} + \psi_{u}^{2} + \chi_{u}^{2}$

$10) \ F = \langle T_u, T_v \rangle = \phi_{u} \cdot \phi_{v} + \psi_{u} \cdot \psi_{v} + \chi_{u} \cdot \chi_{v}$

$10) \ G = \| T_v\|^2 = \phi_{v}^{2} + \psi_{v}^{2} + \chi_{v}^{2}$

Allo stesso risultato potevamo arrivare prendendo il prodotto scalare: $\vec u \cdot \vec v$.

Allora la lunghezza di un segmento sulla superficie è:

$11) \ Lung(x(u(t_1),v(t_2))y,z) = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{Eu'^2 + 2 Fu'v' + G v'^2} \ dt$

Ora ci chiediamo come si trasforma un elemento di superficie dS:

$12) \ dS = |T_u \cdot du \times T_v \cdot dv| = |T_u \times T_v| du dv$

Quadrando la 12), otteniamo proprio le 10). Dunque l'elemento di superficie si trasforma:

$13) \ dS = \sqrt{EG - F^2} \ dudv$

dove $I_G = EG-F^2$ è la prima forma quadratica di Gauss o prima forma differenziale di Gauss.

Da questa è possibile calcolare l'area di una superficie:

$Area(\Sigma) = \iint_{A} dS = \iint_{A} \sqrt{EG - F^2} \ dudv$

e anche un qualsiasi integrale di superficie:

$I = \iint_{A} f(x,y,z) dS = \iint_{A} F(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \sqrt{EG - F^2} \ dudv$.

Da queste due ultime osservazioni circa il calcolo degli integrali, si vede che la prima forma differenziale di Gauss è un determinante:

$det \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix} = EG -F^2$

e poiché i coefficienti non sono altro che i coefficienti di una metrica sulla superficie allora questa matrice è un tensore metrico.

Seconda forma differenziale di Gauss

La seconda forma quadratica è una proprietà intrinseca della superficie, e rappresenta le proprietà di curvatura della stessa. Essa può essere ricavata direttamente dalla prima forma differenziale di Gauss e dai vettori tangente e normale.

Sia dunque $\hat n$ il versore normale ottenibile dal vettore normale:

$\vec n = \pm \vec T_u \times \vec T_v \Longrightarrow \hat n = \pm \frac{\vec T_u \times \vec T_v}{\sqrt{(\vec T_u \times \vec T_v)^2}}$

Dalla prima forma differenziale di gauss:

$\hat n = \pm \frac{\vec T_u \times \vec T_v}{\sqrt{EG - F^2}}$

Allora i coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss:

$\vec T_{uu} \cdot \hat n = L$

$\vec T_{uv} \cdot \hat n = M$

$\vec T_{vv} \cdot \hat n = N$

Da cui otteniamo la seconda forma differenziale (o quadratica) di Gauss:

$II_G = L (du)^2 + 2M dudv + N (dv)^2$

Dunque li possiamo esplicitare:

$L = \frac{\begin{vmatrix} x_{uu} & x_u & x_v \\ y_{uu} & y_u & y_v \\ z_{uu} & z_u & z_v \end{vmatrix}}{\sqrt{EG-F^2}}$

$M = \frac{\begin{vmatrix} x_{uv} & x_u & x_v \\ y_{uv} & y_u & y_v \\ z_{uv} & z_u & z_v \end{vmatrix}}{\sqrt{EG-F^2}}$

$N = \frac{\begin{vmatrix} x_{vv} & x_u & x_v \\ y_{vv} & y_u & y_v \\ z_{vv} & z_u & z_v \end{vmatrix}}{\sqrt{EG-F^2}}$

Curvature normali

Si chiama curvatura normale della superficie $\Sigma$ in un punto P nella direzione della linea u e della linea v rispettivamente, la funzione:

$k(P,u) = II_G \left( \frac{u}{\|u\|}, \frac{u}{\|u\|} \right)$

$k(P,v) = II_G \left( \frac{v}{\|v\|}, \frac{v}{\|v\|} \right)$

Curvature principali e curvatura di Gauss

Sono dette curvature principali i due valori, massimo e minimo, della curvatura normale corrispondenti ai due versi del piano tangente (a seguito dei due versori normali). Indicando con $k_1(P), k_2(P)$ le curvature principali di una superficie in un punto P, allora si chiama curvatura Gaussiana o curvatura totale:

$K(P) = k_1(P) \ k_2(P)$

e definiamo anche la curvatura media:

$H(P) = \frac{k_1(P) + k_2(P)}{2}$

Per quanto riguarda la curvatura di Gauss, è in generale difficile trovare le due direzioni secondo le quali le curvature principali sono valori massimi e minimi. Il criterio è fornito dall'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

Per approfondire, vedi la voce Operatore di Weingarten.

Conseguenze

Dalle forme differenziali di Gauss possiamo ricavare molte informazioni riguardo alle caratteristiche geometriche delle superfici parametriche.

1. La curvatura delle curve sulla superficie seguono dal Teorema di Meusnier e dall'operatore di Weingarten.

1. La curvatura della superficie segue dal teorema egregium di Gauss

1. Teorema di Dupin

Voci correlate

• Superficie cartesiana esplicita
• Superficie cartesiana implicita
• Superficie di rotazione
• Integrale multiplo
• Area
• Tangente
• Normale

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