Teorema di Binet

Il teorema di Binet è un teorema di algebra lineare che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.

Il teorema

Siano A e B due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo K.
Il determinante del prodotto tra A e B è il prodotto del determinante di A per il determinante di B.

In simboli, il teorema di Binet asserisce dunque che

$\det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B$

Applicazioni

• Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
  • se A è invertibile allora esiste B tale che AB = I, e quindi det(A) * det(B) = det(I) = 1, e quindi det(A) non è zero.
  • se det(A) non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
• Se A è invertibile, allora

$\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$

• Il determinante è invariante per similitudine: infatti

$\det (MAM^{-1}) = \det M \cdot\det A \cdot\det M^{-1} = \det A$

• Il determinante di un endomorfismo f: V → V (dove V è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base B, in realtà non dipende dalla scelta di B: è quindi una grandezza intrinseca di f, che indichiamo con det(f).
• Il determinante di un'isometria f:V → V ha norma 1. Quindi se K = R il determinante di una isometria è 1 oppure -1.

Voci correlate

• Similitudine fra matrici
• Matrice associata ad una applicazione lineare
• Formula di Cauchy-Binet

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica