Formula di Cauchy-Binet

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è un risultato che generalizza il teorema di Binet, consentendo di calcolare il determinante del prodotto di due matrici tali per cui il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda e il numero di colonne della seconda è uguale al numero di righe della prima.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Siano  A e  B due matrici rispettivamente di tipo  m\times n e n\times m. Il loro prodotto  AB è quindi una matrice quadrata  m\times m .

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di  AB come:

\det(AB) = \sum_S \det(A_S)\det(B_S)

dove  S varia fra i sottoinsiemi con  m elementi dell'insieme \{1,\ldots,n \}. Per ogni  S , la matrice  A_S è il minore  m\times m ottenuto da  A prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a  S . Analogamente,  B_S è il minore  m\times m ottenuto da  B prendendo solo le righe i cui indici appartengono a  S .

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Nel caso in cui  m=n , la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
  • Se  m> n , l'insieme  S è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
  • Se  m<n , l'insieme  S consta di \binom{n}{m} elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

Interpretazione nello spazio euclideo[modifica | modifica sorgente]

Se  A è una matrice reale  m\times n , il determinante di  A^tA è uguale al quadrato del volume  m -dimensionale del parallelotopo in  \R^n generato dalle colonne di  A .

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione  m . Nel caso  m=1 , queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

Relazione con il delta di Kronecker generalizzato[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi delta di Kronecker.

La formula di Cauchy–Binet è equivalente alla relazione:


    \det(L_fR_g)=\sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det((L_f)_{[m],S})\det((R_g)_{S,[m]})

dove:

    
L_f=\bigl((\delta_{f(i),j})_{i\in[m],j\in[n]}\bigr) \qquad R_g=\bigl((\delta_{j,g(k)})_{j\in[n],k\in[m]}\bigr)

Si ha inoltre:


\delta^{f(1) \dots f(m)}_{g(1) \dots g(m)} = \sum_{k:[m]\to[n] \atop k(1)<\dots<k(m)}
\delta^{f(1) \dots f(m)}_{k(1) \dots k(m)}
\delta^{k(1) \dots k(m)}_{g(1) \dots g(m)}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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