Formula di Cauchy-Binet

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è una formula che generalizza il teorema di Binet. La formula è utile a calcolare il determinante del prodotto di due matrici in un caso più generale di quello considerato nel teorema di Binet.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

Enunciato

Siano $A$ e $B$ due matrici rispettivamente di tipo $m\times n$ e $n\times m$. Il loro prodotto $AB$ è quindi una matrice quadrata $m\times m$.

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di $AB$ come

$\det(AB) = \sum_S \det(A_S)\det(B_S)\,$

dove $S$ varia fra i sottoinsiemi con $m$ elementi dell'insieme $\{1,\ldots,n \}$. Per ogni $S$, la matrice $A_S$ è il minore $m\times m$ ottenuto da $A$ prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a $S$. Analogamente, $B_S$ è il minore $m\times m$ ottenuto da $B$ prendendo solo le righe i cui indici appartengono a $S$.

Proprietà

• Nel caso in cui $m=n$, la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
• Se $m> n$, l'insieme $S$ è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
• Se $m<n$, l'insieme $S$ consta di $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

Interpretazione nello spazio euclideo

Se $A$ è una matrice reale $m\times n$, il determinante di $A^tA$ è uguale al quadrato del volume $m$-dimensionale del parallelotopo in $\R^n$ generato dalle colonne di $A$.

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione $m$. Nel caso $m=1$, queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

Voci correlate

• Teorema di Binet

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