Formula di Cauchy-Binet

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la formula di Cauchy-Binet è una formula che generalizza il teorema di Binet. La formula è utile a calcolare il determinante del prodotto di due matrici in un caso più generale di quello considerato nel teorema di Binet.

La formula è valida per matrici con valori in un qualsiasi anello commutativo.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Siano  A e  B due matrici rispettivamente di tipo  m\times n e n\times m. Il loro prodotto  AB è quindi una matrice quadrata  m\times m .

La formula di Cauchy-Binet esprime il determinante di  AB come

\det(AB) = \sum_S \det(A_S)\det(B_S)

dove  S varia fra i sottoinsiemi con  m elementi dell'insieme \{1,\ldots,n \}. Per ogni  S , la matrice  A_S è il minore  m\times m ottenuto da  A prendendo solo le colonne i cui indici appartengono a  S . Analogamente,  B_S è il minore  m\times m ottenuto da  B prendendo solo le righe i cui indici appartengono a  S .

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Nel caso in cui  m=n , la somma si effettua su un solo termine e la formula coincide con l'enunciato del teorema di Binet.
  • Se  m> n , l'insieme  S è vuoto ed il determinante è quindi nullo.
  • Se  m<n , l'insieme  S consta di \binom{n}{m} elementi (il numero è descritto usando un coefficiente binomiale).

Interpretazione nello spazio euclideo[modifica | modifica sorgente]

Se  A è una matrice reale  m\times n , il determinante di  A^tA è uguale al quadrato del volume  m -dimensionale del parallelotopo in  \R^n generato dalle colonne di  A .

La formula di Binet-Cauchy descrive quindi questa quantità come la somma dei quadrati dei volumi delle proiezioni ortogonali sui vari sottospazi coordinati di dimensione  m . Nel caso  m=1 , queste proiezioni ortogonali sono segmenti, e si ritrova una formulazione del teorema di Pitagora.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

(EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-50065-5.

(EN) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.

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