Applicazione multilineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una applicazione multilineare è una funzione che generalizza il concetto di applicazione lineare a più variabili. Esempi classici di applicazioni multilineari sono:

• una applicazione lineare,
• il determinante e la traccia,
• un prodotto scalare o una più generale forma bilineare.

Le applicazioni multilineari sono anche alla base della definizione di tensore e forma differenziale, e sono quindi molto usate in topologia differenziale nello studio delle varietà differenziabili. Hanno in particolare importanti applicazioni in fisica, specialmente in relatività generale.

Sono sinonimi i termini funzione e mappa multilineare.

Definizione e notazioni

Dati $n+1$ spazi vettoriali $V_1, \ldots, V_n$ e $W$ sullo stesso campo $K$, una applicazione multilineare è una funzione

$f:V_1 \times \ldots \times V_n \to W$

che associa a $n$ vettori $v_1,\ldots, v_n$ rispettivamente di $V_1, \ldots, V_n$ un vettore $f(v_1,\ldots,v_n)$ che sia lineare in ogni componente. Deve cioè valere la relazione

$f(v_1,\dots,v_{i-1}, \lambda v_i+\mu v'_i,v_{i+1}, \dots, v_n )=\lambda f(v_1, \dots, v_n) + \mu f(v_1, \dots,v'_i,\dots, v_n)$

per ogni componente $i$, per ogni n-pla di vettori $v_1,\ldots,v_n$, per ogni $v_i,v'_i \in V_i$, e per ogni coppia di scalari $\mu,\lambda \in K$. In altre parole, tenendo fisse tutte le variabili tranne la i-esima si ottiene una applicazione lineare.

Se è necessario evidenziare il valore $n$, si parla di applicazioni $n$-lineari.

Se lo spazio $W$ è il campo base $K$, allora l'applicazione si dice forma multilineare.

Se gli spazi vettoriali $V_1, \ldots, V_n$ sono tutti uguali fra loro, cioè:

$V_1 = \ldots = V_n = V$

il loro prodotto cartesiano si indica anche con $V^n$.

L'insieme delle applicazioni n-lineari da $V_1 \times \ldots \times V_n$ a K si indica con $L^n(V_1 \times \ldots \times V_n,K)$ e si dimostra essere uno spazio vettoriale.

Esempi

Una applicazione multilineare

$f:V^k\to K$

è una applicazione lineare se $k = 1$ e una forma bilineare se $k =2$.

Il determinante di una matrice quadrata $k \times k$ è una applicazione multilineare

$f:V^k\to K$

che associa ai $k$ vettori colonna della matrice uno scalare. Anche la traccia è un'applicazione multilineare di questo tipo.

Forme multilineari antisimmetriche

Una applicazione multilineare è alternante se si annulla quando un vettore viene ripetuto:

$f(\ldots,v,\ldots,v,\ldots) = 0$

In altre parole, $f(v_1,\ldots,v_k)=0$ quando i vettori $v_1,\ldots,v_k$ non sono tutti distinti. In generale

$f(v_1,\ldots,v_k)=0$

ogni volta che gli $v_i$ sono linearmente dipendenti.

Una applicazione multilineare è antisimmetrica se lo scambio di due vettori ha come effetto un cambiamento di segno:

$f(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots,v_k) = - f(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots,v_k).$

Se $K$ è un campo di caratteristica diversa da due (ad esempio, se è il campo dei numeri reali o complessi), i due concetti coincidono: una forma è alternante se e solo se è antisimmetrica.

Il determinante è una funzione multilineare antisimmetrica. Si tratta di un esempio fondamentale: se $V = K^n$, il determinante è l'unica forma multilineare antisimmetrica

$f:V^n \to K$

che vale $f(e_1,\ldots,e_n)= 1$ sulla base canonica di $K^n$.

Riduzione della multilinearità alla linearità

L'insieme $L^n(V_1 \times \ldots \times V_n,K)$ delle applicazioni n-lineari da $V_1 \times \ldots \times V_n$ a K è uno spazio vettoriale, poiché la somma e il prodotto in K inducono in esso una somma e il prodotto per uno scalare, tuttavia l'insieme $V_1 \times \ldots \times V_n$ non è uno spazio vettoriale (a meno che non lo si renda tale introducendo delle opportune strutture, le quali però sono arbitrarie e non sono indotte naturalmente dalla struttura algebrica degli spazi $V_i$ e di K), per cui lo spazio vettoriale $L^n(V_1 \times \ldots \times V_n,K)$ non può essere considerato il duale di uno spazio vettoriale.

D'altra parte poter ricondurre una applicazione multilineare definita su un insieme che non è uno spazio lineare ad una applicazione lineare definita su uno spazio vettoriale consentirebbe di utilizzare anche per le applicazioni multilineari tutta l'algebra degli spazi duali, che costituisce un'importante struttura algebrica. Per ottenere questo scopo occorre definire uno spazio vettoriale W nel quale si possa "immergere" l'insieme $V_1 \times \ldots \times V_n$, e tale che una applicazione lineare da W a K coincida con una applicazione da $V_1 \times V_2 \times \ldots \times V_n$ quando applicata ad un vettore w di W che "rappresenta" la n-pla $(\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n)$ "immersa" in W.

Un tale spazio W si può costruire introducendo il concetto di prodotto tensoriale fra spazi vettoriali e fra vettori, dopodiché lo spazio vettoriale W cercato risulta essere il prodotto tensoriale degli spazi, cioè $V_1 \otimes \ldots \otimes V_n$.

Voci correlate

• Applicazione lineare
• Forma bilineare
• Tensore

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica