Similitudine fra matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la similitudine fra matrici è un'importante relazione di equivalenza, che induce una partizione dell'insieme M(n, K) di tutte le matrici quadrate n per n a valori in un campo K.
In particolare, nella teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse.

Definizione

Due matrici quadrate A e B sono simili quando esiste una matrice invertibile M tale che:

$\ A = M^{-1}BM$

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a se stesse.

Invarianti per similitudine

Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Si dice quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine.

La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:

$\det (M^{-1}BM) = \det(M^{-1})\cdot\det B\cdot\det M =$

$(\det M)^{-1}\cdot\det B\cdot\det M = \det B\cdot(\det M)^{-1}\cdot\det M = \det B$

Due matrici simili hanno inoltre lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Quindi hanno anche gli stessi autovalori, infatti se $\lambda$ è un autovalore della matrice A, ed A è simile a B, si ha:

$Ax = \lambda x \qquad M^{-1}BMx = \lambda x$

per qualche vettore $x$ diverso da zero. Moltiplicando entrambi i membri della seconda uguaglianza a sinistra per $M$ si ottiene:

$B(Mx) = \lambda (Mx) \$

per cui $\lambda$ è anche autovalore di $B$ con autovettore $M x$.

Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico non sono tuttavia necessariamente simili. Ad esempio:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

non sono matrici simili.

Relazione con gli endomorfismi

Per approfondire, vedi la voce Diagonalizzabilità.

La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, riassunta nell'asserzione seguente: sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a T rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.

Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare. Non tutte le matrici sono diagonalizzabili, ed a tal proposito sui campi reale e complesso la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A definisce una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. In particolare, la matrice è diagonale se e solo se A è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• F. Odetti; M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992. ISBN 88-7545-717-4

Voci correlate

• Congruenza fra matrici
• Matrice diagonalizzabile
• Matrice di cambiamento di base
• Forma di Jordan
• Equivalenza sinistra-destra fra matrici

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