Similitudine fra matrici

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In algebra lineare, la similitudine fra matrici è un'importante relazione di equivalenza, che induce una partizione dell'insieme M(n, K) di tutte le matrici quadrate n per n a valori in un campo K. In particolare, nella teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse.

Due matrici simili hanno gli stessi autovalori, rango, determinante e traccia. Non vale però il contrario: due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente simili.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Due matrici quadrate A e B sono simili quando esiste una matrice invertibile M tale che:[1]

\ A = M^{-1}BM

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a se stesse.

Invarianti per similitudine[modifica | modifica sorgente]

Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Si dice quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine.

La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:

 \det (M^{-1}BM) = \det(M^{-1})\cdot\det B\cdot\det M =
 (\det M)^{-1}\cdot\det B\cdot\det M = \det B\cdot(\det M)^{-1}\cdot\det M = \det B

Due matrici simili hanno inoltre lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Infatti, dalla definizione si ha che A=P^{-1}\cdot B\cdot P, da cui si ricava il polinomio caratteristico:

\Delta_{A}(\lambda)=|\lambda I-A|=|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|

e dal momento che \lambda è uno scalare si può moltiplicare a sinistra e a destra di \lambda I per P^{-1} e per P. Infatti:

\lambda I=\lambda P^{-1}\cdot I\cdot P=P^{-1}\cdot\lambda I\cdot P

Si ha quindi che:

|\lambda I-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}\cdot\lambda I\cdot P-P^{-1}\cdot B\cdot P|=|P^{-1}(\lambda I-B)P|=|P^{-1}||(\lambda I-B)||P|

da cui |\lambda I-A|=|\lambda I-B|.

Questo fatto comporta che due matrici simili abbiano anche gli stessi autovalori, infatti se \lambda è un autovalore della matrice A, ed A è simile a B, si ha:

 Ax = \lambda x \qquad M^{-1}BMx = \lambda x

per qualche vettore x diverso da zero. Moltiplicando entrambi i membri della seconda uguaglianza a sinistra per M si ottiene:

B(Mx) = \lambda (Mx) \

per cui \lambda è anche autovalore di  B con autovettore M x.

Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico non sono tuttavia necessariamente simili. Ad esempio:


  \begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 1 \\
  \end{bmatrix}
 \quad
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    0 & 1 \\
  \end{bmatrix}

non sono matrici simili.

Relazione con gli endomorfismi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Diagonalizzabilità.

La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, riassunta nell'asserzione seguente: sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a T rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.

Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare. Non tutte le matrici sono diagonalizzabili, ed a tal proposito sui campi reale e complesso la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A definisce una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. In particolare, la matrice è diagonale se e solo se A è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

Particolare importanza riveste il caso in cui la matrice invertibile che definisce la relazione di similitudine è una matrice unitaria. Due matrici A e B sono unitariamente equivalenti se sono simili rispetto ad una matrice unitaria U, ovvero A = UBU^{\dagger}. Ad esempio, le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali, e le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 115

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
  • (EN) Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.

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