Teorema della dimensione per spazi vettoriali

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In matematica, il teorema della dimensione per spazi vettoriali afferma che basi diverse di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ovvero sono costituite dallo stesso numero di elementi.[1] La cardinalità della base è inoltre pari alla dimensione dello spazio.

In altri termini, sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Siano B e C due basi di V la cui dimensione sia rispettivamente n e m. Allora n=m.[1]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si considera il caso in cui le basi hanno cardinalità finita. Si supponga per assurdo che esistono due basi B e B' di V che contengono k e h vettori, con k < h. Scrivendo ogni vettore B' come combinazione lineare dei k vettori di B, i coefficienti della combinazione lineare sono k elementi del campo K: quindi per ogni vettore di B' si ottiene un vettore in K^k (che rappresenta le sue coordinate rispetto a B). Essendo i vettori di B' in numero pari a h, si hanno h vettori \mathbf v_1,\dots,\mathbf v_h in K^k. Usando l'algoritmo di Gauss si vede che il sistema lineare omogeneo:

x_1 \mathbf v_1 + \dots + x_h\mathbf v_h = \mathbf 0

con variabili x_1, \dots, x_h ammette soluzioni non banali (cioè diverse dal vettore nullo), perché ci sono più incognite che equazioni. Ciascuna di queste soluzioni non banali fornisce una dipendenza lineare fra i vettori di coordinate \mathbf v_1,\dots,\mathbf v_h, che si traduce in una relazione di dipendenza fra i vettori originali di B'. Essi non possono quindi formare una base, contraddicendo l'ipotesi.

Teorema del rango[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi teorema del rango.

La seguente applicazione del teorema della dimensione è talvolta chiamata essa stessa "teroema della dimensione". Sia T : U \to V una trasformazione lineare. Allora:

\dim \mathrm{im}(T) + \dim \mathrm{ker}(T) = \dim (U)

Ovvero, la dimensione di U è pari alla dimensione dell'immagine più la dimensione del nucleo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b S. Lang, Pag. 45

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992.
  • (EN) Howard, P., Rubin, J.: "Consequences of the axiom of choice" - Mathematical Surveys and Monographs, vol 59 (1998) ISSN 0076-5376

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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