Teorema della dimensione per spazi vettoriali

In matematica, il teorema della dimensione per spazi vettoriali afferma che basi diverse di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, ovvero sono costituite dallo stesso numero di elementi. La cardinalità della base è inoltre pari alla dimensione dello spazio.

Il teorema

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Siano B e C due basi di V la cui dimensione sia rispettivamente n e m. Allora n = m.

Dimostrazione

Descriviamo brevemente una dimostrazione nel caso in cui le basi abbiano cardinalità finita. Siano quindi per assurdo due basi B e B' di V, che contengono k e h vettori con k < h. Scriviamo ogni vettore di B' come combinazione lineare dei k vettori di B. I coefficienti della combinazione lineare sono k elementi del campo K: quindi per ogni vettore di B' otteniamo un vettore in K^k (che rappresenta le sue coordinate rispetto a B).

Otteniamo quindi h vettori v₁, ..., v_h in K^k. Usando l'algoritmo di Gauss si vede che il sistema lineare omogeneo

x₁v₁ + ... + x_hv_h = 0

con variabili x₁, ..., x_h ammette soluzioni non banali (cioè diverse dal vettore nullo), perché ci sono più incognite che equazioni. Ciascuna di queste soluzioni non banali fornisce una dipendenza lineare fra i vettori di coordinate v₁, ..., v_h, che si traduce in una relazione di dipendenza fra i vettori originali di B' , che quindi non possono formare una base.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992.

Voci correlate

• Base
• Teorema della dimensione
• Spazio vettoriale

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