Coordinate di un vettore

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In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Sia l'insieme \mathbf v_1, \mathbf v_2, \dots , \mathbf v_n di elementi di V una base ordinata di V. Allora ogni vettore \mathbf w \in V si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

\mathbf{w} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i

Si definisce l'insieme delle coordinate di \mathbf w rispetto alla base data il vettore:[1]

\mathbf a = (a_1,a_2, \cdots , a_n)

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere \mathbf w, e dipende quindi dalla scelta della base stessa. Per specificare che \mathbf v è scritto rispetto alla base B si usa spesso la notazione [\mathbf v]_B.

La mappa \phi_B:V \to K^n che associa ad ogni vettore \mathbf v \in V le sue coordinate \phi_B(\mathbf v)=[\mathbf v]_B rispetto a B è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè un'applicazione lineare biettiva,[2] la cui trasformazione inversa \phi_B^{-1}: K^n\to V è data da:

\phi_B^{-1}(a_1,\ldots,a_n)=a_1 \mathbf v_1+\cdots+a_n \mathbf v_n

Questa funzione viene anche chiamata rappresentazione standard di V rispetto a B.

Cambiamento di coordinate[modifica | modifica wikitesto]

Siano B e C due basi diverse di V. Siano \mathbf b_1, \mathbf b_2, \dots , \mathbf b_n i vettori che compongono la base B.

Si denoti con  [M]_{C}^{B} la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori \mathbf b_i rispetto ai vettori della base C:

 [M]_{C}^{B} = 
\begin{bmatrix} \ [\mathbf b_1]_C & \cdots & [\mathbf b_n]_C \ \end{bmatrix}

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da B a C. Si ha allora:[3]

 [\mathbf v]_C = [M]_{C}^{B} [\mathbf v]_B \qquad [\mathbf v]_B = ([M]_{C}^{B})^{-1} [\mathbf v]_C

In particolare, la matrice  [M]_{C}^{B} è la matrice associata all'identità rispetto alle basi B e C.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 49
  2. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 51
  3. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 52

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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