Coordinate di un vettore

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Sia l'insieme $\mathbf v_1, \mathbf v_2, \dots , \mathbf v_n$ di elementi di $V$ una base ordinata di $V$. Allora ogni vettore $\mathbf w \in V$ si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

$\mathbf{w} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i$

Si definisce l'insieme delle coordinate di $\mathbf w$ rispetto alla base data il vettore:

$\mathbf a = (a_1,a_2, \cdots , a_n)$

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere $\mathbf w$. Tale vettore dipende dalla base scelta.

Per specificare la base $B$ rispetto alla quale è scritto un vettore $\mathbf v$ si usa spesso la notazione $[\mathbf v]_B$.

La mappa $f:V \to K^n$ che associa ad ogni vettore $\mathbf v$ le sue coordinate $f(\mathbf v)$ è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè è una applicazione lineare biettiva. La dimensione n di $K$ deve, dunque, corrispondere con il numero di vettori linearmente indipendenti che costituiscono la base di $V$.

Cambiamento di coordinate

Siano $B$ e $C$ due basi diverse di $V$. Siano $\mathbf b_1, \mathbf b_2, \dots , \mathbf b_n$ i vettori che compongono la base $B$.

Si denoti con $[M]_{C}^{B}$ la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori $\mathbf b_i$ rispetto ai vettori della base $C$:

$[M]_{C}^{B} = \begin{bmatrix} \ [\mathbf b_1]_C & \cdots & [\mathbf b_n]_C \ \end{bmatrix}$

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$. Si ha allora:

$[\mathbf v]_C = [M]_{C}^{B} [\mathbf v]_B \qquad [\mathbf v]_B = ([M]_{C}^{B})^{-1} [\mathbf v]_C$

In particolare, la matrice $[M]_{C}^{B}$ è la matrice associata all'identità rispetto alle basi $B$ e $C$.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• (EN) Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Matrice di cambiamento di base
• Matrice di trasformazione
• Spazio vettoriale
• Vettore (matematica)

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica