Coordinate di un vettore

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Sia l'insieme v₁, v₂, ..., v_n di elementi di V una base ordinata di V. Allora ogni vettore w di V si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

$\mathbf{w} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i$

Si definisce l'insieme delle coordinate di w rispetto alla base data il vettore:

$\mathbf a = (a_1,a_2, \cdots , a_n)$

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere w. Tale vettore dipende dalla base scelta.

Per specificare la base B rispetto alla quale è scritto un vettore v si usa spesso la notazione $[\mathbf v]_B$.

La mappa f: V → Kⁿ che associa ad ogni vettore v le sue coordinate f(v) è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè è una applicazione lineare biettiva.

Cambiamento di coordinate

Siano B e C due basi diverse di V. Siano b₁, b₂, ... , b_n i vettori che compongono la base B.

Si denoti con $[M]_{C}^{B}$ la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori b_i rispetto ai vettori della base C:

$[M]_{C}^{B} = \begin{bmatrix} \ [\mathbf b_1]_C & \cdots & [\mathbf b_n]_C \ \end{bmatrix}$

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da B a C. Si ha allora:

$[\mathbf v]_C = [M]_{C}^{B} [\mathbf v]_B \qquad [\mathbf v]_B = ([M]_{C}^{B})^{-1} [\mathbf v]_C$

In particolare, la matrice $[M]_{C}^{B}$ è la matrice associata all'identità rispetto alle basi B e C.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• base
• dimensione
• matrice del cambiamento di base

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