Forma canonica di Jordan

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Esempio di matrice in forma canonica di Jordan. I blocchi evidenziati in grigio sono detti blocchi di Jordan.

In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se A è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.[1]

La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).

Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un blocco di Jordan di ordine k è una matrice triangolare superiore con k righe costituita nel seguente modo:


\begin{pmatrix}
 \lambda&1&0&\cdots&0         \\                       
 0&\ddots&\ddots&&\vdots      \\
 \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
 \vdots&&\ddots&\ddots&1      \\
 0&\cdots&\cdots&0&\lambda    
\end{pmatrix}

in cui ogni elemento della diagonale è uguale a \lambda ed in ogni posizione (i, i+1) si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è  (x-\lambda)^k , e quindi ha \lambda come unico autovalore con la molteplicità algebrica k. D'altra parte, l'autospazio relativo a \lambda è:

 \ker(J_k(\lambda) - \lambda I) = \ker\begin{pmatrix}
 0&1&0&\cdots&0         \\                       
 0&\ddots&\ddots&&\vdots      \\
 \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
 \vdots&&\ddots&\ddots&1      \\
 0&\cdots&\cdots&0&0    
\end{pmatrix} = \textrm{Span} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}

avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se k > 1 il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.

Una matrice in forma canonica di Jordan o matrice di Jordan è una matrice a blocchi del tipo:

 J = \begin{pmatrix}
J_1 &          & 0   \\
    & \ddots &     \\ 
  0 &          & J_k \end{pmatrix}

dove J_i è un blocco di Jordan con autovalore \lambda_i. Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a \lambda_i.

La molteplicità geometrica di \lambda_i, definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore \lambda_i. D'altra parte, la molteplicità algebrica di \lambda_i, definita come la molteplicità della radice \lambda_i nel polinomio caratteristico di J, è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore \lambda_i.

In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che J è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, J è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.

Teorema di Jordan[modifica | modifica wikitesto]

Si dice che una matrice quadrata A con elementi in un campo K ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di A. Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se K è algebricamente chiuso, ad esempio se K=\C è il campo dei numeri complessi.

Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:

  • Sia A una matrice quadrata con elementi in K avente tutti gli autovalori nel campo. Allora A è simile ad una matrice di Jordan.
  • Due matrici di Jordan J e J' sono simili se e solo se si ottengono l'una dall'altra permutando i blocchi.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Si vuole calcolare la forma canonica di Jordan della matrice

A =
\begin{pmatrix}
 5 &  4 &  2 &  1 \\
 0 &  1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 &  3 &  0 \\ 
 1 &  1 & -1 &  2 \\
\end{pmatrix}

Il suo polinomio caratteristico è  (x-4)^2(x-2)(x-1) , quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Si ricorda che, se si indica con m_\textrm{alg}(\lambda) e m_\textrm{geo}(\lambda) le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore \lambda, valgono sempre le seguenti disuguaglianze:

 1 \leq m_\textrm{geo}(\lambda) \leq m_\textrm{alg}(\lambda)

Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di jordan presenti relativi a quell'autovalore. Si vede che:

 \dim\ker (A-4I) = 1

Segue quindi che A non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati in possesso sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:

J=\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Polinomio minimo[modifica | modifica wikitesto]

Il polinomio minimo m(x) di una matrice A è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan J. Infatti si decompone come:

 m(x) = (x-\lambda_1)^{j_1}\cdots (x-\lambda_k)^{j_k}

dove \lambda_1 \dots \lambda_k sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di A, e j_i è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore \lambda_i.

Ad esempio, la seguente matrice:

J=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

ha  (x-3)^4 come polinomio caratteristico e  (x-3)^3 come polinomio minimo.

Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici seguenti hanno gli stessi polinomi caratteristici (e quindi anche lo stesso determinante, la stessa traccia e gli stessi autovalori), gli stessi polinomi minimi, ma non sono simili:

A=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad
B=\begin{pmatrix}
3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jordan Canonical Form article at mathworld.wolfram.com

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
  • (EN) Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
  • (EN) Gene H. Golub and J. H. Wilkinson, Ill-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan normal form, SIAM Review, vol. 18, nr. 4, pp. 578–619, 1976.
  • (EN) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9
  • (EN) N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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