Forma canonica di Jordan

In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata A definisce una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se A è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).

Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.

Definizione

Blocco di Jordan

Un blocco di Jordan di ordine k è una matrice triangolare superiore con k righe costituita nel seguente modo:

$\begin{pmatrix} \lambda&1&0&\cdots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1 \\ 0&\cdots&\cdots&0&\lambda \end{pmatrix}$

in cui ogni elemento della diagonale è uguale a $\lambda$ ed in ogni posizione (i, i+1) si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è $(x-\lambda)^k$, e quindi ha $\lambda$ come unico autovalore con la molteplicità algebrica k. D'altra parte, l'autospazio relativo a $\lambda$ è:

$\ker(J_k(\lambda) - \lambda I) = \ker\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0 \\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1 \\ 0&\cdots&\cdots&0&0 \end{pmatrix} = \textrm{Span} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$

avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se k>1 il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.

Matrice di Jordan

Una matrice di Jordan è una matrice a blocchi del tipo

$J = \begin{pmatrix} J_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_k \end{pmatrix}$

dove J_i è un blocco di Jordan con autovalore λ_i. Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a λ_i.

Come sopra, si vede che la molteplicità geometrica di λ_i, definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore λ_i. D'altra parte, la molteplicità algebrica di λ_i, definita come la molteplicità della radice λ_i nel polinomio caratteristico di J, è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore λ_i.

In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che J è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, J è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.

Teorema di Jordan

Diciamo che una matrice quadrata A con elementi in un campo K ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di A. Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se K è algebricamente chiuso, ad esempio se K = C è il campo dei numeri complessi.

Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:

• Sia A una matrice quadrata con elementi in K avente tutti gli autovalori nel campo. Allora A è simile ad una matrice di Jordan.
• Due matrici di Jordan J e J' sono simili se e solo se si ottengono l'una dall'altra permutando i blocchi.

Esempi

Calcoliamo la forma canonica di Jordan della matrice

$A = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Il suo polinomio caratteristico è $(x-4)^2(x-2)(x-1)$, quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Ricordiamo che, se indichiamo con m_alg(λ) e m_geo(λ) le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore λ, valgono sempre le seguenti disuguaglianze:

$1 \leq m_\textrm{geo}(\lambda) \leq m_\textrm{alg}(\lambda)$

Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di jordan presenti relativi a quell'autovalore. Vediamo che

$\dim\ker (A-4I) = 1.$

Segue quindi che A non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati che abbiamo sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:

$J=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Polinomio minimo

Il polinomio minimo m(x) di una matrice A è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan J. Infatti si decompone come

$m(x) = (x-\lambda_1)^{j_1}\cdots (x-\lambda_k)^{j_k}$

dove λ₁, ..., λ_k sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di A, e j_i è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore λ_i.

Ad esempio, la seguente matrice

$J=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

ha $(x-3)^4$ come polinomio caratteristico e $(x-3)^3$ come polinomio minimo.

Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici seguenti hanno gli stessi polinomi caratteristici (e quindi anche lo stesso determinante, la stessa traccia e gli stessi autovalori), gli stessi polinomi minimi, ma non sono simili:

$A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Diagonalizzabilità
• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo

Bibliografia

• (EN) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
• (EN) Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
• (EN) Gene H. Golub and J. H. Wilkinson, Ill-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan normal form, SIAM Review, vol. 18, nr. 4, pp. 578–619, 1976.
• (EN) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9

Altri progetti

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