Traccia (matrice)

In algebra lineare, si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale.

Nel caso di endomorfismi di uno spazio vettoriale, è possibile definire la traccia di un endomorfismo considerando la traccia della sua matrice associata rispetto ad una qualsiasi base dello spazio. Poiché la traccia è invariante per similitudine, questo valore non dipende dalla base scelta.

Definizione

Si definisce traccia $\mathrm{tr}(A)$ di una matrice $A$ la somma di tutti gli elementi sulla sua diagonale principale:

$\mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$

dove $a_{ii}$ rappresenta l'elemento posto sulla $i$-esima riga e $i$-esima colonna di $A$.

Dalla definizione segue che una matrice hermitiana ha traccia reale in quanto i suoi elementi sulla diagonale principale sono reali, mentre una matrice antisimmetrica ha traccia nulla, poiché tutti gli elementi sulla diagonale principale sono nulli.

L'insieme delle matrici la cui traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale.

Proprietà

Nel seguito si elencano le proprietà principali della traccia:

• $tr(AB) = tr(BA)$
• $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
• $tr(cA)=c[tr(A)]$
• $tr(A) = tr(A^T)$ dove $A^T$ è la matrice trasposta di $A$
• $tr(I_n) = n$ dove $I_n$ è la matrice identità n×n.

La traccia è inoltre invariante per similitudine, in quanto due matrici simili hanno la stessa traccia:

$tr(M^{-1}AM) = tr((M^{-1}A)M) = tr (M(M^{-1}A)) = tr ((MM^{-1})A) = tr (A) \$

Autovalori, polinomio caratteristico

Per approfondire, vedi Autovettore e autovalore e Polinomio caratteristico.

La traccia è, a meno di segno, il coefficiente di $x^{n-1}$ nel polinomio caratteristico di una matrice. La traccia inoltre è pari alla somma degli autovalori della matrice, in quanto una matrice è sempre simile ad una forma canonica di Jordan, una matrice triangolare superiore che ha anch'essa gli autovalori $\lambda_1,\ldots, \lambda_n$ sulla diagonale principale.

Nel caso di una matrice diagonalizzabile, in particolare, questo segue dall'invarianza per similitudine, e dal fatto che una matrice diagonale ha i suoi autovalori sulla diagonale.

In una matrice quadrata di rango due gli autovalori dipendono solo dalla traccia e dal determinante della matrice, poiché in tal caso il polinomio caratteristico è dato da:

$\lambda^2 -tr(A)\lambda + det(A) \$

Operatori di classe traccia

Per approfondire, vedi classe traccia.

Sia dato un operatore lineare limitato $A$ su uno spazio di Hilbert separabile $H$. Data una base ortonormale $\{ \phi_n \}$ di $H$, si definisce traccia di $A$ il numero:

${\rm Tr} A:=\sum_{n}^\infty \langle A \phi_n, \phi_n \rangle$

$A$ è detto di classe traccia se la traccia del suo modulo è finita, ovvero se la somma precedente è assolutamente convergente e indipendente dalla scelta della base.

${\rm Tr}|A| < \infty \$

La traccia di un operatore può essere scritta in modo equivalente come la somma di termini positivi:

$\|A\|_{1}= {\rm Tr}|A|:=\sum_{k} \langle (A^*A)^{1/2} \, e_k, e_k \rangle$

Si tratta di un funzionale lineare sullo spazio degli operatori di classe traccia. Se $H$ ha dimensione finita, ogni operatore è di classe traccia e la precedente somma è equivalente alla definizione di traccia di una matrice.

Un operatore $A$ non negativo e autoaggiunto è di classe traccia se:

${\rm Tr}(A) < \infty \$

Inoltre, un operatore autoaggiunto è di classe traccia se lo sono la sua parte positiva $A^+$ e negativa $A^-$.

Esempi

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \mbox{tr}(A) = 3 + 4 + 2 = 9. \,\!$

$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 1 & -7 \end{pmatrix} \Rightarrow \mbox{tr}(B) = 3 + 4 + (-7) = 0. \,\!$

Bibliografia

• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• Determinante
• Polinomio caratteristico

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