Traccia (matrice)

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In algebra lineare, si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale.

Nel caso di endomorfismi di uno spazio vettoriale, è possibile definire la traccia di un endomorfismo considerando la traccia della sua matrice associata rispetto ad una qualsiasi base dello spazio. Poiché la traccia è invariante per similitudine, questo valore non dipende dalla base scelta.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si definisce traccia \operatorname{tr}(A) di una matrice A la somma di tutti gli elementi sulla sua diagonale principale:

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

dove a_{ii} rappresenta l'elemento posto sulla  i-esima riga e i-esima colonna di A.

Dalla definizione segue che una matrice hermitiana ha traccia reale in quanto i suoi elementi sulla diagonale principale sono reali, mentre una matrice antisimmetrica ha traccia nulla, poiché tutti gli elementi sulla diagonale principale sono nulli.

L'insieme delle matrici la cui traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Tra le proprietà più immediate della traccia vi sono le seguenti:

\operatorname{tr}(A+B)= \operatorname{tr}(A)+ \operatorname{tr}(B)
\operatorname{tr}(cA)=c(\operatorname{tr}(A))
  • Una matrice A e la sua trasposta A^T hanno la stessa traccia:
 \operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}\left(A^T\right)
come si nota dal fatto che facendo la trasposta di una matrice la diagonale principale non ne viene influenzata.
  • Data la matrice identità  I_n , la traccia è la dimensione dello spazio, ovvero  \operatorname{tr}(I_n) = n. La traccia di una matrice idempotente A (tale per cui A^2 = A) è il rango di A, mentre la traccia della matrice nilpotente è zero.
  • La traccia è invariante per similitudine, in quanto due matrici simili hanno la stessa traccia:
 \operatorname{tr}(M^{-1}AM) = \operatorname{tr}((M^{-1}A)M) = \operatorname{tr}(M(M^{-1}A)) = \operatorname{tr}((MM^{-1})A) = \operatorname{tr}(A) \
\operatorname{tr}(AB) = 0
  • Data una matrice A di dimensione m \times n e una seconda matrice B di dimensione n \times m, si ha:
 \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
Si tratta di una conseguenza immediata del procedimento di moltiplicazione di matrici, infatti:
\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m \left(AB\right)_{ii} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m B_{ji} A_{ij} = \sum_{j=1}^n \left(BA\right)_{jj} = \operatorname{tr}(BA)
La traccia è cioè invariante rispetto ad una permutazione ciclica:
\operatorname{tr}(ABCD) = \operatorname{tr}(BCDA) = \operatorname{tr}(CDAB) = \operatorname{tr}(DABC)
Si nota che una generica permutazione non è consentita:
\operatorname{tr}(ABC) \neq \operatorname{tr}(ACB)
La traccia di un prodotto può essere scritta come una somma del tipo:
\operatorname{tr}(X^{\mathrm T}Y) = \operatorname{tr}(XY^{\mathrm T}) = \operatorname{tr}(Y^{\mathrm T}X) = \operatorname{tr}(YX^{\mathrm T}) = \sum_{i,j}X_{ij}Y_{ij}
in cui si nota la somiglianza con il prodotto interno tra vettori.
  • Data una matrice A di dimensione m \times n e una seconda matrice B di dimensione n \times m, si ha:
\frac {\partial (tr(A B^{T}))} {\partial B} = A

La traccia è, a meno di segno, il coefficiente di x^{n-1} nel polinomio caratteristico di una matrice. La traccia inoltre è pari alla somma degli autovalori della matrice, in quanto una matrice è sempre simile ad una forma canonica di Jordan, una matrice triangolare superiore che ha anch'essa gli autovalori \lambda_1,\ldots, \lambda_n sulla diagonale principale.

Nel caso di una matrice diagonalizzabile, in particolare, questo segue dall'invarianza per similitudine, e dal fatto che una matrice diagonale ha i suoi autovalori sulla diagonale.

In una matrice quadrata di ordine due gli autovalori dipendono solo dalla traccia e dal determinante della matrice, poiché in tal caso il polinomio caratteristico è dato da:

\lambda^2 - \mathrm{tr}(A)\lambda + \mathrm{det}(A)

La traccia corrisponde alla derivata del determinante. Se A è una funzione differenziabile da \R allo spazio delle matrici di dimensione n:

 \frac{d}{dt} \det A(t) = \mathrm{tr} \left(\mathrm{adj}(A(t)) \, \frac{dA(t)}{dt} \right)

dove \mathrm{adj} A è la matrice aggiunta di A. Si tratta della formula di Jacobi.

Prodotto interno[modifica | modifica sorgente]

Per una matrice A di dimensione m \times n con entrate reali o complesse, indicando con l'asterisco la trasposta complessa coniugata si ha:

 \operatorname{tr}(A^* A) \ge 0

dove vale l'uguaglianza se e solo se A = 0. L'assegnazione:

\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(B^* A)

definisce un prodotto interno sullo spazio delle matrici m \times n (reali o complesse). La norma indotta da tale prodotto interno è detta norma di Frobenius.

Segue che se A e B sono semi-definite positive e hanno la stessa dimensione, allora:

 0 \leq \operatorname{tr}(A B)^2 \leq \operatorname{tr}(A^2) \operatorname{tr}(B^2) \leq \operatorname{tr}(A)^2 \operatorname{tr}(B)^2

come si può dimostrare utilizzando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di operatori compatti in spazi di Hilbert si introduce la nozione di operatore di classe traccia.

Se A è un'algebra associativa su un campo k allora la traccia di A è spesso anche definita come una generica mappa tr : A \to k che annulla il commutatore tr([a,b])=0 per ogni coppia a,b \in A. Si tratta di una traccia definita a meno della moltiplicazione per uno scalare non nullo.

Una supertraccia è una generalizzazione della traccia nell'ambito della teoria delle superalgebre.

L'operazione di contrazione di un tensore generalizza la traccia al caso di generici tensori.

Operatori di classe traccia[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Classe traccia.

Sia dato un operatore lineare limitato A su uno spazio di Hilbert separabile H. Data una base ortonormale \{ \phi_n \} di H, si definisce traccia di A il numero:[1]

{\rm Tr} A:=\sum_{n}^\infty \langle A \phi_n, \phi_n \rangle

A è detto di classe traccia se la traccia del suo modulo è finita, ovvero se la somma precedente è assolutamente convergente e indipendente dalla scelta della base.[2]

{\rm Tr}|A| < \infty \

La traccia di un operatore può essere scritta in modo equivalente come la somma di termini positivi:

\|A\|_{1}= {\rm Tr}|A|:=\sum_{k} \langle (A^*A)^{1/2} \, e_k, e_k \rangle

Si tratta di un funzionale lineare sullo spazio degli operatori di classe traccia. Se H ha dimensione finita, ogni operatore è di classe traccia e la precedente somma è equivalente alla definizione di traccia di una matrice.

Un operatore A non negativo e autoaggiunto è di classe traccia se:

{\rm Tr}(A) < \infty \

Inoltre, un operatore autoaggiunto è di classe traccia se lo sono la sua parte positiva A^+ e negativa A^-.

In tale contesto l'analogo della norma di Frobenius è detto norma di Hilbert–Schmidt.

Esempi[modifica | modifica sorgente]


A = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 5\\
   0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{tr}(A) = 3 + 4 + 2 = 9.
\,\!

B = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 5\\
   0 & 1 & -7
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{tr}(B) = 3 + 4 + (-7) = 0.
\,\!

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 206
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 207

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) N. Jacobson, Basic algebra , 1 , Freeman (1985)
  • (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1965)
  • (EN) P.M. Cohn, Algebra, 1, Wiley (1982) pp. 336
  • (EN) F.R. Gantmacher, The theory of matrices, 1, Chelsea, reprint (1959)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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