Operatore autoaggiunto

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In matematica, in particolare in algebra lineare, un operatore autoaggiunto è un operatore lineare su uno spazio di Hilbert che è uguale al suo aggiunto. In letteratura si usa talvolta chiamare operatore simmetrico un operatore definito in un sottospazio di uno spazio vettoriale, il cui aggiunto non è in generale simmetrico, e operatore hermitiano un operatore densamente definito in tale spazio. Nel caso di uno spazio finito-dimensionale alcuni autori utilizzano inoltre il termine operatore simmetrico per denotare un operatore autoaggiunto nel caso reale.[1]

Per il teorema di Hellinger-Toeplitz un operatore simmetrico definito ovunque è anche limitato, e se il suo aggiunto è definito ovunque ed è limitato allora l'operatore è limitato. In particolare, se un operatore simmetrico limitato non è definito su tutto lo spazio allora può essere esteso in modo unico ad un operatore definito ovunque.

La matrice che rappresenta un operatore autoaggiunto è una hermitiana, ed in dimensione finita il teorema spettrale asserisce che ogni operatore autoaggiunto di uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo ha una base ortonormale formata da autovettori. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale i cui coefficienti sono reali.

Gli operatori autoaggiunti sono fondamentali in vari settori della matematica e della fisica, come ad esempio la geometria differenziale, l'analisi funzionale e la meccanica quantistica.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia A un operatore lineare definito su un insieme D(A) \subset E ed a valori nel duale topologico continuo E^* di E.

A è detto simmetrico se:

 \langle Ax , y \rangle =  \lang x , Ay \rang

per ogni coppia di elementi x, y in D(A).

A è detto hermitiano se è simmetrico e D(A) è denso in E.

Un operatore autoaggiunto è un operatore hermitiano tale per cui, detto A^* l'operatore aggiunto di A, si ha A^*=A ed in particolare D(A)=D(A^*). Si tratta di un operatore lineare chiuso.

Caso finito-dimensionale[modifica | modifica sorgente]

Sia \,H uno spazio di Hilbert ed A un operatore limitato definito su tale insieme. Dato \mathbf w \in H, si definisce il funzionale lineare:

 L_{\mathbf w} : H \to \mathbf C

tale che:

 L_{\mathbf w} (\mathbf v) = \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle

per ogni \mathbf v \in H.

Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico elemento \mathbf w' tale che:[2]

 \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, \mathbf w' \rangle

e si definisce un unico l'operatore A^*, detto operatore aggiunto di A, tale che:[3]

 \langle \mathbf v, A^* \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, \mathbf w' \rangle

ovvero:

 \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, A^* \mathbf w \rangle

Si definisce operatore autoaggiunto o hermitiano un operatore tale che A = A^*, ovvero:[4]

 \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, A \mathbf w \rangle

Se si esprime un operatore autoaggiunto in termini della matrice che lo rappresenta, tale matrice è uguale alla sua trasposta complessa coniugata. Questo implica in particolare che gli autovalori di tali operatori sono reali.

Operatori non limitati[modifica | modifica sorgente]

Sia H uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano \langle , \rangle e sia A un operatore lineare densamente definito su un dominio D(A) in H.

Nel caso di un operatore A non limitato è necessario tenere conto dei domini. Il dominio dell'operatore aggiunto A^* di A è:

D(A^*):=\left\{\mathbf v \in H :\exists f \in H \mbox{ : } \langle A \mathbf v, \mathbf w \rangle = \langle \mathbf v, f\rangle \quad \forall  \mathbf w \in D(A)  \right\}

Per ogni elemento \mathbf v \in D(A^*) si ponga:

\, A^*\mathbf v=f

Un operatore non limitato è quindi detto autoaggiunto se:

D(A)=D(A^*) \qquad A \mathbf v = A^* \mathbf v \quad \forall \mathbf v \in D(A)

In modo equivalente, A è detto simmetrico se l'aggiunto A^* estende A, ovvero se:[5]

D(A) \subset D(A^*) \qquad A \mathbf v = A^* \mathbf v \quad \forall \mathbf v \in D(A)

ed un operatore autoaggiunto è un operatore simmetrico tale che:

D(A) = D(A^*) \

Un operatore simmetrico è sempre chiudibile in quanto D(A^*) è denso in H.

In particolare:

  • Se A è simmetrico, A^* estende A^{**} che a sua volta estende A.
  • Se A è simmetrico e chiuso, A^* estende A^{**}=A.
  • Se A è autoaggiunto A^*=A^{**}=A.

Da questo segue che se A è simmetrico e chiuso, esso è anche autoaggiunto se e solo se A^* è simmetrico.[6]

Inoltre, un operatore simmetrico A è autoaggiunto se e solo se è chiuso e \ker(A^* \pm i) = \{ 0 \}. In modo equivalente, l'operatore simmetrico A è autoaggiunto se e solo se l'immagine di (A \pm i) è l'intero spazio H.[7]

Essenziale autoaggiuntezza[modifica | modifica sorgente]

Un operatore simmetrico A si dice essenzialmente autoaggiunto se la sua chiusura \bar A è autoaggiunta. In particolare, l'estensione autoaggiunta \bar A di un operatore essenzialmente autoaggiunto A è unica, e si ha \bar A=A^{**}. Inoltre, un operatore A simmetrico è essenzialmente autoaggiunto se e solo se \ker(A^* \pm i) = \{ 0 \}. In modo equivalente, A è essenzialmente autoaggiunto se e solo se il rango di (A \pm i) è denso in H.[7]

Limitatezza relativa[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi operatore limitato.

Un operatore A si dice limitato relativamente all'operatore B, o B-limitato, se:

D(B) \subset D(A) \qquad \|A u \| \le a_1 \| u \| + a_2 \| Bu \| \quad u \in D(B)

Il più grande limite inferiore dell'insieme dei possibili valori che può assumere a_2 è detto B-limite di A. Si dimostra che se B è autoaggiunto e A è simmetrico e B-limitato con B-limite minore di 1, allora l'operatore A + B è autoaggiunto. Inoltre, se B è essenzialmente autoaggiunto allora A + B è essenzialmente autoaggiunto e si ha:

\overline{A + B} = \bar A + \bar B

dove \bar A indica la chiusura di A.

Proprietà degli operatori autoaggiunti limitati[modifica | modifica sorgente]

Siano A,B operatori autoaggiunti, e \alpha,\beta numeri reali. Dalla linearità del prodotto scalare si ottiene

 \langle f , (\alpha A + \beta B ) g \rangle = \langle  f , \alpha A g \rangle + \langle  f , \beta B g \rangle = \langle   ({\alpha} A+ {\beta} B)f , g \rangle

e quindi lo spazio degli operatori autoaggiunti è uno spazio lineare sui reali.

Dalla relazione:

\,(AB)^{*} = B^{*}A^{*} = BA

si ottiene che \,AB è un operatore autoaggiunto se e solo se \,A e \,B commutano.

L'insieme degli autovalori di un operatore autoaggiunto giace sull'asse reale. Per vederlo, si consideri un autovettore \,f dell'operatore autoaggiunto \,A associato all'autovalore \,\lambda. Allora da:

\lambda^* \langle f ,f\rangle = \langle A f ,f\rangle=\langle f ,Af\rangle=\lambda\langle f ,f\rangle

segue che \,\lambda=\lambda^* o \langle f ,f\rangle=0. Dato che la seconda possibilità è esclusa in quanto \,f è un autovettore, ne segue che \,\lambda è reale.

Spettro[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spettro (matematica) e Autovettore e autovalore.

Se A è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert, si ha:

  • A non ha spettro residuo.
  • Lo spettro \sigma(A) è un sottoinsieme di \R,ovvero gli autovalori sono reali.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Un operatore autoaggiunto A di una C*-algebra è detto positivo se il suo spettro \sigma(A) contiene soltanto numeri non negativi reali. Inoltre è positivo se e solo se esiste un elemento B dell'algebra tale che A = B^* B. Un operatore positivo in uno spazio di Hilbert (dunque sul campo complesso) è autoaggiunto, ed in particolare normale.[8] Questo non vale su uno spazio vettoriale reale.

Calcolo funzionale continuo[modifica | modifica sorgente]

Si dimostra che se A è operatore autoaggiunto definito su H, allora esiste un'unica mappa \phi definita sullo spazio delle funzioni di Borel su \R ed a valori nello spazio degli operatori limitati su H che gode delle seguenti proprietà:[9]

  • \phi è un *-omomorfismo algebrico, ovvero:
\phi(fg) = \phi(f)\phi(g) \qquad \phi(\lambda f) = \lambda \phi(f) \qquad \phi(1) = I \qquad \phi(\bar f) = \phi(f)^*
  • \phi è continua, ovvero:
\| \phi (f) \| \le \| f \|_{\infty}
  • Se f(x) = x allora \phi (f) = A
  • Se:
f_n(x) \to f(x) \quad \forall x
e la norma \| f_n \|_{\infty} è limitata, allora:
\phi(f_n) \to \phi(f)
e la convergenza è forte.

Grazie alle proprietà mostrate attraverso il calcolo funzionale continuo è possibile associare ad un operatore autoaggiunto un'unica famiglia di proiezioni ortogonali, che costituiscono una misura a valori di proiettore. Tale famiglia di proiettori permette, grazie al teorema spettrale, di diagonalizzare un operatore autoaggiunto, come si mostra nel seguito.

Teorema spettrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema spettrale.

Due operatori A e B definiti sugli insiemi D_A e D_B in uno spazio di Hilbert sono unitariamente equivalenti se, dato un operatore unitario U, si verifica:[10]

UD_A=D_B \qquad U A U^{-1}(x) = B(x) \qquad \forall x \in D_B

Se A e B sono limitati la prima relazione non è necessaria. Se inoltre A è un operatore autoaggiunto, allora lo è anche B.

Sia  (X, \Sigma, \mu) uno spazio di misura numerabilmente additivo e f una funzione misurabile a valori reali su X. Un operatore T della forma:

 [T \psi] (x) = f(x) \psi(x) \quad

il cui dominio è lo spazio delle funzioni \psi per le quali il membro di destra della precedente relazione è in L^2 è un operatore di moltiplicazione.

Il teorema spettrale afferma che ogni operatore di moltiplicazione è un operatore autoaggiunto (densamente definito), ed ogni operatore autoaggiunto è unitariamente equivalente ad un operatore di moltiplicazione.

Nel caso finito dimensionale, sia T un endomorfismo su uno spazio vettoriale reale V di dimensione n sul quale è definito un prodotto scalare definito positivo. Allora T è autoaggiunto se e solo se esiste una base ortonormale di V fatta di autovettori per T.[11] L'endomorfismo T è quindi diagonalizzabile. Una versione equivalente del teorema, enunciata con le matrici, afferma che ogni matrice simmetrica è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale.[12]

Come conseguenza del teorema, per ogni matrice simmetrica S esistono una matrice ortogonale M ed una matrice diagonale D tali per cui:[13]

 D = M^{-1} S M = M^T S M \

In particolare, gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.

Caso infinito-dimensionale[modifica | modifica sorgente]

Il caso infinito-dimensionale costituisce una generalizzazione del caso precedente. Nel caso di operatori limitati, il teorema spettrale afferma che un operatore limitato e autoaggiunto A definito su uno spazio di Hilbert H è un operatore di moltiplicazione.

In modo equivalente, esiste una famiglia di misure \{\mu_n \} sullo spettro  \sigma(A) di A ed esiste un operatore unitario:

U:H \to \bigoplus_{n=1}^N L^2(\R,d\mu_n)

tali che:[14]

(UAU^{-1} \psi)_n (\lambda) = \lambda \psi_n(\lambda) \

con:

 \psi = \{ \psi_n(\lambda) \} \in \bigoplus_{n=1}^N L^2(\R,d\mu_n)

Una tale scrittura di A è detta rappresentazione spettrale dell'operatore.

Come corollario, segue che esiste una misura \mu su uno spazio di misura M ed esiste un operatore unitario:

U:H \to L^2(M,d\mu)

tali che:[15]

(UAU^{-1} f)(x) = F(x)f(x) \

per una qualche funzione misurabile limitata ed a valori reali F su M.

Nel caso in cui A è un operatore non limitato e autoaggiunto su uno spazio di Hilbert separabile H con dominio D(A), il teorema afferma che esistono uno spazio di misura (M,\mu), dove \mu è una misura finita, un operatore unitario:

U:H \to L^2(M,d\mu)

ed esiste una funzione f:M \to \R misurabile quasi ovunque tali che:[16]

  • \psi \in D(A) se e solo se:
f(.) (U\psi) (.) \in L^2(M,d\mu)
  • Se \phi \in U[D(A)] allora:
(UAU^{-1} \phi)(x) = f(x)\phi(x) \

Molti operatori lineari importanti che si incontrano in analisi, come gli operatori differenziali, non sono limitati. In particolare, ogni operatore differenziale a coefficienti costanti è unitariamente equivalente a un operatore di moltiplicazione, e l'operatore unitario che implementa questa equivalenza è la trasformata di Fourier.

Decomposizione spettrale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi proiezione ortogonale.

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di T sono ortogonali e in somma diretta:

 V = V_{\lambda_1}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_k}

Equivalentemente, se P_\lambda è la proiezione ortogonale su V_\lambda, si ha:

 A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_k P_{\lambda_k} \qquad P_\lambda  P_\mu=0 \quad \lambda \neq \mu

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi misura a valori di proiettore.

Sia A un operatore autoaggiunto limitato. Si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

P^A(\Omega) = \chi_\Omega(A) \

definita sullo spettro \sigma(A) di A, in cui \chi_\Omega è la funzione indicatrice. Tale misura può essere associata ad A nel seguente modo:

 (\phi, f(A) \psi) := \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d (\phi, P^A (\lambda) \psi) \quad \forall \phi,\psi \in H

per ogni funzione misurabile limitata f, e in tal caso si ha:

A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A(\lambda) \qquad f(A) = \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d P^A(\lambda)

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di A.[17]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) A a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare A tramite una misura a valori di proiettore limitata P^A allora P^A è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad A. Ogni operatore limitato autoaggiunto A può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata P^A.

Operatori non limitati[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformata di Cayley.

Si consideri un operatore autoaggiunto A non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley U(A) associata ad A:

 U(A) = (A - \bold{i}I) (A + \bold{i}I)^{-1} \qquad A = \bold{i}(I + U(A)) (I - U(A))^{-1}

è possibile definire, a partire da A, una misura a valori di proiettore P^{U(A)} nel modo seguente:

P^A(\Omega) := P^{U(A)}(U(\Omega)) \qquad \Omega \subset \sigma(A)

L'insieme \Omega è un borelliano contenuto nello spettro (reale) \sigma(A) di A, e U(\Omega) è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su \C.

Si dimostra che se la funzione identità, definita su \sigma(A), è di classe L^2 rispetto alla misura (x,P^A(\Omega)x), allora P^{U(A)} definisce una misura a valori di proiettore su \sigma(A).

In particolare, è possibile scrivere:

A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A (\lambda)

Anche nel caso di A non limitato la corrispondenza tra A ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 240
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 197
  3. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 198
  4. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 199
  5. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 255
  6. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 256
  7. ^ a b Reed, Simon, op. cit., Pag. 257
  8. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 195
  9. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 225
  10. ^ (EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  11. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 245
  12. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 248
  13. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 246
  14. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 227
  15. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 221
  16. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 261
  17. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 234

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) L.A. Lyusternik, V.I. Sobolev, Elements of functional analysis , Wiley (1974)
  • (EN) N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in Hilbert space , 1–2 , Pitman (1981)
  • (EN) F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Functional analysis , F. Ungar (1955)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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