Idempotenza

In matematica, e in particolare in algebra, l'idempotenza è una proprietà che può caratterizzare endofunzioni, ovvero operazioni unarie, operazioni binarie ed elementi di strutture algebriche dotate di una operazione binaria, cioè elementi di magmi e di loro arricchimenti (in particolare di anelli e di algebre).

Definizione

Un'operazione unaria idempotente entro un certo insieme S è una funzione del tipo:

$T : S \rightarrow S~$ tale che :$~\forall x\in S ~:~ T(T(x))=T(x) \quad\mathrm{ovvero}\quad T\circ T = T$

Ogni endofunzione idempotente entro un qualsiasi insieme è una unione funzionale di collassi. In particolare trasformazioni lineari idempotenti di uno spazio vettoriale V sono i proiettori sopra i sottospazi di V.

Un'operazione binaria idempotente entro un certo insieme S è una funzione del tipo:

$~* : S \times S \rightarrow S~$ tale che :$\forall x\in S ~:~ x*x = x$

Esempi di operazioni binarie idempotenti sono l'unione e la intersezione di insiemi, le operazioni logiche di AND e OR, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di interi positivi, le operazioni di giunzione o supremo (sup) e di incontro o infimo (inf) di un reticolo o di un semireticolo.

Si osserva che la nozione di endofunzione idempotente si riconduce a quella di operazione binaria idempotente relativa al caso particolare dell'operazione di composizione di endofunzioni.

Se (S,*,...) è una struttura algebrica avente S come insieme sostegno e * operazione binaria, si dice elemento idempotente della struttura ogni e di S tale che e * e = e. In particolare nell'algebra delle matrici sopra un generico campo K sono elementi idempotenti le matrici quadrate diagonali aventi tutte le entrate della diagonale principale uguali a uno o a zero (si osserva che esse costituiscono rappresentazioni di proiettori). Tra le matrici sui reali e sui complessi sono idempotenti anche le matrici quadrate aventi autovalori soltanto 1 e 0. Nell'algebra delle relazioni sono idempotenti le relazioni di equivalenza.

Idempotenza in informatica

Il termine idempotenza viene usato in accezioni corrispondenti a quella matematica riportata qui sopra, applicato a "funzioni" in senso informatico (ovvero subroutine che producono un valore di ritorno). Lo stesso termine viene usato anche in senso più improprio per riferirsi a funzioni prive di effetti collaterali. In questo senso, una funzione è idempotente se non vi è alcuna differenza osservabile fra l'effetto di una singola attivazione della funzione e di N sue attivazioni consecutive effettuate con input identico.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Nilpotenza
• Involuzione

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