Minimo comune multiplo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica il minimo comune multiplo mcm di due o più numeri interi a e b è il più piccolo intero positivo multiplo sia di a sia di b. Se a = 0 o b = 0, allora mcm (a, b) è uguale a zero[senza fonte].

Se si considerano due o più frazioni, il minimo comune multiplo dei denominatori fornisce il loro minimo comun denominatore. Ossia il più piccolo numero che può essere utilizzato per trasformare tutte le frazioni di partenza in frazioni con lo stesso denominatore e quindi direttamente sommabili algebricamente.

Se a e b non sono entrambi nulli, il minimo comune multiplo può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di a e b e la formula seguente:

\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}.

Per esempio:

\operatorname{mcm}(21,6)
={21\cdot6\over\operatorname{MCD}(21,6)}
={21\cdot 6\over 3}={21\cdot 2}=42.

Quindi, l'algoritmo di Euclide per il MCD fornisce anche un veloce algoritmo per il calcolo del mcm.

Calcolo efficiente del mcm[modifica | modifica sorgente]

La formula

\operatorname{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{MCD}(a,b)}

è adeguata per calcolare il mcm per piccoli numeri.

Poiché (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b, è possibile calcolare il mcm usando la formula precedente in modo più efficiente, dapprima utilizzando il fatto che b/c o a/c sono più semplici da calcolare rispetto alla divisione tra il prodotto ab e c: il fatto che c sia multiplo sia di a che di b consente di semplificare completamente il fattore c dalla frazione a/c oppure da b/c, prima di effettuare il prodotto ab.

Allora il mcm si può calcolare o così:

\operatorname{mcm}(a,b)=\left({a\over\operatorname{MCD}(a,b)}\right)\cdot b

oppure così:

\operatorname{mcm}(a,b)=a\cdot\left({b\over\operatorname{MCD}(a,b)}\right)

In questo modo, l'esempio precedente diventa:

\operatorname{mcm}(21,6)={21\over\operatorname{MCD}(21,6)}\cdot6={21\over3}\cdot6=7\cdot6=42.

Anche se i numeri sono grandi e non sono facilmente scomponibili in fattori, il MCD può essere calcolato velocemente usando l'algoritmo di Euclide.

Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare[modifica | modifica sorgente]

Il metodo che segue rende impossibile dimenticarsi di semplificare prima di moltiplicare. Verrà illustrato con un esempio: come trovare il mcm(12, 8).

  • Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo comune multiplo: {12 \over 8} = {3 \over 2}.
  • Si esegue la "moltiplicazione a croce": 12\times 2 = 8\times 3.
  • Il prodotto 12 × 2 = 8 × 3 è il mcm: 24.

Metodo di calcolo alternativo[modifica | modifica sorgente]

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto in un modo unico come prodotto di fattori primi. I numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.

Per esempio:

90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5

Il numero composto 90 è costituito da un elemento uguale al numero primo 2, due elementi uguali al numero primo 3 e un elemento uguale al numero primo 5.

Si può usare questo teorema per trovare facilmente il mcm di un gruppo di numeri.

Per esempio: calcolare il mcm(45, 120, 75).

45\; \, =   3^2 \cdot 5^1
120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1
75\; \,=  3^1 \cdot 5^2

Il mcm è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi

\operatorname{mcm}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800.

Questo è il metodo che di solito viene insegnato nella scuola italiana.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Calcolo di mcm(3, 5, 7)
i tre numeri sono primi, quindi
mcm(3,5,7)=3·5·7=105
  • Calcolo di mcm(2,25,7,12):
i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi
7=7
12=3·2·2=3·2²
25=5·5=5²
quindi risulta
mcm(2,25,7,12)=mcm(3,4,7,25)=2²·3·5²·7=2100.
i fattori primi 2 e 5 sono stati presi con esponente massimo 2.

Analogamente si ragiona se si vuole eseguire il mcm tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi, trinomi...), comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri, ricordando che mcm(4a,bc) non è detto che sia 4abc.

Esempio:

  • Calcolo di mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³).
Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta
mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³)=mcm(4,n²,p,(p+q)³)
  • Calcolo di mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x)).

Si ha che

x³ = x³
ab(x²-2x+1) = ab(x-1)² = ab(1-x
(1-x) = -(x-1).
E quindi il mcm in questo caso è
mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x))=mcm(ab,x³(1-x)²) =mcm(ab,x³(x-1)²)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica