Sottospazio vettoriale

Tre sottospazi distinti di dimensione 2 in $\R^3$. Due di questi si intersecano in un sottospazio di dimensione 1 (uno di questi è disegnato in blu).

In matematica, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

Definizione

Sia $K$ un campo, sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $W$ un sottoinsieme non vuoto di $V$. L'insieme $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è uno spazio vettoriale su $K$ con le operazioni di somma tra matrici e moltiplicazione per scalare e se è chiuso rispetto ad esse.

Si dimostra che $W$ è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:

• Se $\mathbf u$ e $\mathbf v$ sono elementi di $W$, allora anche la loro somma $\mathbf u + \mathbf v$ è un elemento di $W$.
• Se $\mathbf u$ è un elemento di $W$ e $\lambda$ è uno scalare in $K$, allora il prodotto $\lambda \mathbf u$ è un elemento di $W$.
• Il vettore nullo $\mathbf 0$ appartiene a $W$.

Le prime due condizioni sono equivalenti alla seguente: se $\mathbf u$ e $\mathbf v$ sono elementi di $W$, $\lambda$ e $\mu$ sono elementi di $K$, allora $\lambda \mathbf u + \mu \mathbf v$ è un elemento di $W$.

Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale $V$ gli insiemi $\{\mathbf 0\}$ e $V$ sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Alcuni autori omettono l'appartenenza del vettore nullo nella definizione in quanto si dimostra appartenere ad ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni $\mathbf v \in W$ il vettore:

$0 \mathbf v = \mathbf 0$

appartiene a $W$ grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Inoltre, si prova facilmente che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio $V$ è sottospazio di $V$ stesso.

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di $V$ siano ben definite anche quando sono ristrette a $W$. A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per $V$, valgono anche per $W$, e quindi anche $W$ è uno spazio vettoriale.

Esempi

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali $K^n$, le matrici $m \times n$, o i polinomi a coefficienti in $K$.

• L'origine da sola forma il sottospazio più piccolo di qualsiasi spazio vettoriale.
• Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di $\R^3$.
• Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in $K$ ed in n variabili sono un sottospazio vettoriale di $K^n$.
• Le matrici diagonali, le simmetriche e le antisimmetriche formano tre sottospazi dello spazio delle matrici quadrate $n \times n$.
• Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare $f: V \to W$ sono sottospazi rispettivamente di $V$ e di $W$.
• I polinomi di gradi al più $k$ sono un sottospazio dello spazio $K[x]$ dei polinomi a coefficienti in $K$ con variabile $x$.
• Se $X$ è un insieme ed $x$ un punto di $X$, le funzioni da $X$ in $K$ che si annullano in $x$ (cioè le $f$ tali che $f(x)=0$) costituiscono un sottospazio dello spazio di tutte le funzioni da $X$ in $K$. Inoltre le funzioni da $X$ in $K$ che si annullano sia in $x$ che in un secondo punto $y \in X$ costituiscono un sottospazio del precedente.
• L'insieme delle funzioni continue $C(\R,\R)$ da $\R$ in $\R$ fornisce un sottospazio delle funzioni da $\R$ in $\R$, e l'insieme delle funzioni derivabili ne costituisce un sottospazio.

Operazioni nei sottospazi

L'intersezione da $U \cap W$ di due sottospazi $U$ e $W$ di $V$ è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in $\R^3$ passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione $U \cup W$ invece non è in generale un sottospazio, ed è un sottospazio se e solo se $U \subseteq W$ oppure $W \subseteq U$. Una composizione di due sottospazi $U$ e $W$ che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma $U + W$, definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma $\mathbf u + \mathbf v$ dei vettori $\mathbf u \in U$ e $\mathbf w \in W$. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in $\R^3$ è il piano che le contiene.

La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi $U$, $W$, $U \cap W$ e $U + W$.

L'ortogonale $W^\perp$ di uno sottospazio vettoriale $W$ di uno spazio $V$ su cui sia definita una forma bilineare $\phi$ è l'insieme dei vettori $\mathbf v$ tali che $\phi(\mathbf v,\mathbf w)=0$ per ogni $\mathbf w \in V$.

Quoziente di uno spazio vettoriale

Per approfondire, vedi Spazio vettoriale quoziente.

Se $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$, si può costruire il gruppo quoziente $V/W$ e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.

Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza $\mathbf v \sim \mathbf w$ se e solo se $\mathbf v - \mathbf w \in W$. Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come $\mathbf v + W$. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:

$(\mathbf v + W) + (\mathbf w + W) = (\mathbf v + \mathbf w) + W$

$\lambda (\mathbf v + W) = (\lambda \mathbf v) + W$

Bibliografia

• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9
• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2

Voci correlate

• Spazio vettoriale
• Sottospazio generato
• Dimensione
• Formula di Grassmann
• Applicazione lineare

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica