Sottospazio vettoriale

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Tre sottospazi distinti di dimensione 2 in \R^3. Due di questi si intersecano in un sottospazio di dimensione 1 (evidenziato in blu).

In matematica, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia K un campo, sia V uno spazio vettoriale su K e sia W un sottoinsieme non vuoto di V. L'insieme W è un sottospazio vettoriale di V se è uno spazio vettoriale su K con le operazioni di somma tra matrici e moltiplicazione per scalare e se è chiuso rispetto ad esse.[1]

Si dimostra che W è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:[2]

  • Se \mathbf u e \mathbf v sono elementi di W, allora anche la loro somma \mathbf u + \mathbf v è un elemento di W.
  • Se \mathbf u è un elemento di W e \lambda è uno scalare in K, allora il prodotto \lambda \mathbf u è un elemento di W.
  • Il vettore nullo \mathbf 0 appartiene a W.

Le prime due condizioni sono equivalenti alla seguente: se \mathbf u e \mathbf v sono elementi di W, \lambda e \mu sono elementi di K, allora \lambda \mathbf u + \mu \mathbf v è un elemento di W.[3]

Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale V gli insiemi \{\mathbf 0\} e V sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Alcuni autori omettono l'appartenenza del vettore nullo nella definizione in quanto si dimostra appartenere ad ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni \mathbf v \in W il vettore:

0 \mathbf v = \mathbf 0

appartiene a W grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Inoltre, si prova facilmente che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio V è sottospazio di V stesso.

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di V siano ben definite anche quando sono ristrette a W. A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per V, valgono anche per W, e quindi anche W è uno spazio vettoriale.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali K^n, le matrici m \times n, o i polinomi a coefficienti in K.

  • L'origine da sola forma il sottospazio più piccolo di qualsiasi spazio vettoriale.
  • Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di \R^3.
  • Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in K ed in n variabili sono un sottospazio vettoriale di K^n.
  • Le matrici diagonali, le simmetriche e le antisimmetriche formano tre sottospazi dello spazio delle matrici quadrate n \times n.
  • Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare f: V \to W sono sottospazi rispettivamente di V e di W.
  • I polinomi di gradi al più k sono un sottospazio dello spazio K[x] dei polinomi a coefficienti in K con variabile x.
  • Se X è un insieme ed x un punto di X, le funzioni da X in K che si annullano in x (cioè le f tali che f(x)=0) costituiscono un sottospazio dello spazio di tutte le funzioni da X in K. Inoltre le funzioni da X in K che si annullano sia in x che in un secondo punto y \in X costituiscono un sottospazio del precedente.
  • L'insieme delle funzioni continue C(\R,\R) da \R in \R fornisce un sottospazio delle funzioni da \R in \R, e l'insieme delle funzioni derivabili ne costituisce un sottospazio.

Operazioni nei sottospazi[modifica | modifica wikitesto]

L'intersezione da U \cap W di due sottospazi U e W di V è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in \R^3 passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione U \cup W invece non è in generale un sottospazio, ed è un sottospazio se e solo se U \subseteq W oppure W \subseteq U. Una composizione di due sottospazi U e W che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma U + W, definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma \mathbf u + \mathbf w dei vettori \mathbf u \in U e \mathbf w \in W. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in \R^3 è il piano che le contiene.

La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi U, W, U \cap W e U + W.

L'ortogonale W^\perp di uno sottospazio vettoriale W di uno spazio V su cui sia definita una forma bilineare \phi è l'insieme dei vettori \mathbf v tali che \phi(\mathbf v,\mathbf w)=0 per ogni \mathbf w \in V.

Quoziente di uno spazio vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio vettoriale quoziente.

Se W è un sottospazio vettoriale di V, si può costruire il gruppo quoziente V/W e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.

Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza \mathbf v \sim \mathbf w se e solo se \mathbf v - \mathbf w \in W. Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come \mathbf v + W. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:

(\mathbf v + W) + (\mathbf w + W) = (\mathbf v + \mathbf w) + W
\lambda (\mathbf v + W) = (\lambda \mathbf v) + W

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 34
  2. ^ S. Lang, Pag. 38
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 35

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Aigner, M. Combinatorial Theory. New York: Springer-Verlag, 1979.
  • (EN) Exton, H. q-Hypergeometric Functions and Applications. New York: Halstead Press, 1983.
  • (EN) Finch, S. R. "Lengyel's Constant." Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 316-321, 2003.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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