Sottospazio vettoriale

Tre sottospazi distinti di dimensione 2 in $\R^3$. Due di questi si intersecano in un sottospazio di dimensione 1 (uno di questi è disegnato in blu).

In matematica, un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, avente proprietà tali da farne a sua volta un altro spazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali sono le rette ed i piani nello spazio euclideo tridimensionale passanti per l'origine.

Definizione

Sia K un campo, sia V uno spazio vettoriale su K e sia W un sottoinsieme non vuoto di V. L'insieme W è un sottospazio vettoriale di V se è uno spazio vettoriale su K con le operazioni di somma e moltiplicazione per scalare.

Si dimostra che W è un sottospazio vettoriale se e solo se valgono le seguenti proprietà:

• Se u e v sono elementi di W, allora anche la loro somma u + v è un elemento di W;
• Se u è un elemento di W e λ è uno scalare in K, allora il prodotto λu è un elemento di W.
• Il vettore nullo 0_V appartiene a W.

Le prime due condizioni sono equivalenti alla seguente: se u e v sono elementi di W, λ e μ sono elementi di K, allora λu + μv è un elemento di W.

Dalla definizione segue che per ogni spazio vettoriale V gli insiemi {0_V} e V sono suoi sottospazi vettoriali, detti sottospazi impropri o banali. Alcuni autori omettono l'appartenenza del vettore nullo nella definizione in quanto si dimostra appartenere ad ogni sottospazio vettoriale. Infatti, per ogni v di W il vettore:

$0 \mathbf v = \mathbf 0_V$

appartiene a W grazie alla chiusura dell'insieme rispetto al prodotto per scalare. Inoltre, si prova facilmente anche che il sottospazio di un sottospazio di uno spazio V è sottospazio di V stesso.

Queste proprietà garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di V siano ben definite anche quando sono ristrette a W. A questo punto, gli otto assiomi di spazio vettoriale, che erano garantiti per V, valgono anche per W, e quindi anche W è uno spazio vettoriale.

Esempi

Molti esempi di spazi vettoriali si costruiscono come sottospazi di spazi vettoriali standard, quali Kⁿ, le matrici m x n, o i polinomi a coefficienti in K.

• L'origine da sola forma il sottospazio più piccolo di qualsiasi spazio vettoriale.
• Una retta o un piano passanti per l'origine sono sottospazi di R³.
• Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in K ed in n variabili sono un sottospazio vettoriale di Kⁿ.
• Le matrici diagonali, le simmetriche e le antisimmetriche formano tre sottospazi dello spazio delle matrici quadrate n x n.
• Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare f: V → W sono sottospazi rispettivamente di V e di W.
• I polinomi di gradi al più k sono un sottospazio dello spazio K[x] dei polinomi a coefficienti in K con variabile x.
• Se X è un insieme ed x un punto di X, le funzioni da X in K che si annullano in x (cioè le f tali che f(x) = 0) costituiscono un sottospazio dello spazio Fun(X, K) di tutte le funzioni da X in K. Inoltre le funzioni da X in K che si annullano sia in x che in un secondo punto y di X costituiscono un sottospazio del precedente.
• L'insieme delle funzioni continue Cont(R, R) da R in R fornisce un sottospazio di Fun(R, R), e l'insieme delle funzioni derivabili Der(R, R) costituisce un sottospazio di Cont(R, R).

Operazioni sui sottospazi

L'intersezione U ∩ W di due sottospazi U e W di V è ancora un sottospazio. Ad esempio, l'intersezione di due piani distinti in R³ passanti per l'origine è una retta, sempre passante per l'origine.

L'unione U ∪ W invece generalmente non è un sottospazio. U ∪ W è un sottospazio se e solo se U ⊆ W oppure W ⊆ U. Una composizione di due sottospazi U e W che fornisce un nuovo sottospazio è la cosiddetta somma U + W, definita come l'insieme di tutti i vettori che sono somma u + w di un vettore u di U e di uno w di W. Ad esempio, la somma di due rette distinte (sempre passanti per l'origine) in R³ è il piano che le contiene.

La formula di Grassmann mette in relazione le dimensioni dei quattro spazi U, W, U ∩ W e U + W.

L'ortogonale $W^\perp$ di uno sottospazio vettoriale W di uno spazio V su cui sia definita una forma bilineare b è l'insieme dei vettori v tali che b(v,w)=0 per ogni w in V.

Quoziente di uno spazio vettoriale

Per approfondire, vedi la voce Spazio vettoriale quoziente.

Se W è un sottospazio vettoriale di V, si può costruire il gruppo quoziente V/W e munirlo a sua volta di una naturale struttura di spazio vettoriale.

Con precisione, si definisce la relazione di equivalenza v ≈ w se e solo se v - w ∈ W. Una singola classe di equivalenza è spesso denotata come v + W. Somma e moltiplicazione per scalari sono definiti mediante:

(v + W) + (w + W) = (v + w) + W

λ (v + W) = (λv) + W

Bibliografia

• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9
• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2

Voci correlate

• Spazio vettoriale
• Sottospazio generato
• Dimensione
• Formula di Grassmann
• Applicazione lineare

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