Immagine (matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Se riscontri problemi nella visualizzazione dei caratteri, clicca qui.
Immagine (insieme tratteggiato) all'interno del codominio.

In matematica, l'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia f : AB una funzione. Si definisce immagine di A tramite f, o immagine di f, il sottoinsieme di B così definito:


\begin{matrix}
f(A) & := & \left\{b \in B \left| \right. b = f(a)\ \mbox{per qualche}\ a \in A \right\} & = \\[1ex]
& = & \left\{b \in B \left| \right. \exists\, a \in A \left| \right. b = f(a)\right\} & = \\[1ex]
& = & \left\{f(a) \in B \left| \right. a \in A \right\} \subseteq B,
\end{matrix}

ove l'uguaglianza con B sussiste se e solo se la funzione f è suriettiva.

Si tratta, quindi, di quegli elementi b di B per i quali esiste un elemento di A che venga portato in B da f.

Notare che nello scrivere f(A) si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto f è una trasformazione che agisce sugli elementi di A, non su A stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: f[A]  e  \mathrm{Im}\, f\,\!.

Più in generale, se A1A è un sottoinsieme del dominio A si chiama immagine di A1 tramite f l'insieme:

f(A_1) := \left\{b \in B \left| \right. b = f(a)\ \mbox{per qualche}\ a \in A_1 \right\} \subseteq B\,\!.

Se a ∈ A, si chiama immagine di a tramite f l'unico elemento f(a) ∈ B associato ad a da f.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Considerata una funzione f : AB, valgono le seguenti proprietà:

  • f(\emptyset) = \emptyset\,\!.
  • Se A_1 \subseteq A_2 \subseteq A\,\!, allora f(A_1) \subseteq f(A_2) \subseteq f(A)\,\!.
  • L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli: f(A_1 \cup A_2)=f(A_1) \cup f(A_2)\,\!.
    • In generale:  f\left(\bigcup_i A_i \right) = \bigcup_i f(A_i)\,\!.
  • L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2) e l'uguaglianza vale se la funzione f è iniettiva.
    • In generale:  f\left(\bigcap_i A_i \right) \subseteq \bigcap_i f(A_i)\,\!.
  • L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli: f\left(A_1 \setminus A_2 \right) \supseteq f(A_1) \setminus f(A_2) e l'uguaglianza vale se e solo se f(A_2)\cap f(A_1\setminus A_2)=\emptyset\,\!.

Metodi di calcolo[modifica | modifica sorgente]

È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione x^2 ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate y, compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la x in funzione della y, trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se

f(x)=y=e^{x^2}-5

allora la sua inversa si ottiene mediante:

y+5=e^{x^2} \Longleftrightarrow \ln(y+5)=x^2 \Longleftrightarrow \pm \sqrt{\ln(y+5)}=x\,\!.

Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la y, precisamente y+5>0   e   \ln(y+5)\geq 0\,\!. L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di y risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è [-4,+\infty)\,\!.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica