Insieme complemento

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Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento: il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Complemento relativo[modifica | modifica sorgente]

Il complemento relativo (o la differenza) di A rispetto a B:
~B \setminus A~~~~=~~~~A^c \cap B

Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto a B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Esso si indica solitamente come B\setminus A oppure come \,\!B - A. Formalmente abbiamo:

B\setminus A = B - A = \{ x \in B \wedge  x \notin A \}

Si noti che l'insieme differenza B - A è un sottoinsieme dell'insieme B.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace - \lbrace 3 \rbrace = \lbrace 1,2,4,5 \rbrace
  • \lbrace a,b,c,d \rbrace - \lbrace c,d,e,f \rbrace = \lbrace a,b \rbrace
  • \lbrace 1,2,3 \rbrace - \lbrace 2,3,4 \rbrace = \lbrace 1 \rbrace
  • \lbrace 2,3,4 \rbrace - \lbrace 1,2,3 \rbrace = \lbrace 4 \rbrace

Proposizioni[modifica | modifica sorgente]

Se A, B e C sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

  • C - \left ( A \cap B \right ) = \left ( C - A \right ) \cup \left ( C - B \right )
  • C - \left ( A \cup B \right ) = \left ( C - A \right ) \cap \left ( C - B \right )
  • C - (B - A) = ( A \cap C ) \cup ( C - B )
  • ( B - A ) \cap C = ( B \cap C ) - A = B \cap ( C - A )
  • ( B - A ) \cup C = ( B \cup C ) - ( A - C )
  •  A - A = \varnothing
  •  \varnothing - A = \varnothing
  •  A - \varnothing = A

Complemento assoluto[modifica | modifica sorgente]

Il complemento assoluto di A:
~A^c~~~~=~~~~\emptyset^c \setminus A

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Se è definito un insieme universo U, si definisce complemento assoluto di A come il complemento relativo di A rispetto ad U. Formalmente abbiamo:

A^c = \neg A = U - A = \{ x \in U \ e\  x \notin A \}

Il complemento assoluto, indicato anche come ~ A, rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l’insieme universale è l’insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell’insieme dei numeri dispari è l’insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

PROPOSIZIONE 2: Se A e B sono sottoinsiemi di un insieme universo U, allora valgono le seguenti identità:

leggi di De Morgan:
  • (A ∪ B)C  = AC ∩ BC
  • (A ∩ B)C  = AC ∪ BC
Leggi di complementarità:
  • A ∪ AC  =  U
  • A ∩ AC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
  • Se AB, allora BCAC (ciò segue dall’equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale)
Involuzione o legge del doppio complemento:
  • (AC)C  =  A.
Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:
  • A − B = A ∩ BC
  • (A − B)C = AC ∪ B

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A è un sottoinsieme non vuoto di U, allora {A, AC} è una partizione di U.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
  • (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
  • (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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