Differenza simmetrica

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In matematica, la differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme che contiene gli elementi presenti solo in uno dei due insiemi. È l'equivalente insiemistico dell'operazione logica nota come XOR.

La differenza simmetrica tra A e B è evidenziata in rosso

La differenza simmetrica tra due insiemi è comunemente denotata A \, \Delta \, B.

Esistono due modi equivalenti per definirla:

A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)

cioè, rispettivamente, l'unione delle due differenze e la differenza tra l'unione e l'intersezione di A e B.

La differenza simmetrica è commutativa e associativa:

A \Delta B = B \Delta A
(A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C)

La differenza simmetrica di due differenze simmetriche ripetute è la differenza simmetrica ripetuta della somma dei due multiinsiemi, con la rimozione di ogni insieme che compaia due volte. In particolare:

(A \Delta B) \Delta (B \Delta C) = A \Delta C

Questa uguaglianza esprime anche una specie di disuguaglianza triangolare: la differenza simmetrica di A e C è contenuta nell'unione tra le differenze simmetriche di A e B e di B e C.

Se consideriamo l'insieme delle parti di un qualsiasi insieme X con la differenza simmetrica, esso diventa un gruppo abeliano, in quanto

A \Delta \varnothing = A

e

A \Delta A = \varnothing

cioè l'insieme vuoto è l'elemento neutro e ogni insieme è l'inverso di sé stesso; questo ci dice anche che questa struttura algebrica è addirittura uno spazio vettoriale sopra il campo finito delle classi di resto modulo 2 Z_2.

Inoltre, la distributività dell'intersezione sulla differenza simmetrica:

A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)

implica che l'insieme delle parti di X diventa un anello, più specificamente il prototipo di anello booleano.

Differenza simmetrica n-aria[modifica | modifica sorgente]

La differenza simmetrica si può vedere come un'operazione su un multiinsieme di insiemi: il risultato dell'operazione su una classe di insiemi contiene gli elementi che sono contenuti in un numero dispari di insiemi tra quelli considerati:

\triangle M = \left\{ a \in \bigcup M\ |\ \#\{A\in M|a \in A\}\ = 2k +1, \, k \in \N  \right\}

Questa operazione è ben definita solo quando ogni elemento dell'unione \bigcup M è contenuto in un numero finito di elementi di M.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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