Commutatività

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In matematica, un'operazione binaria  * definita su un insieme  S è commutativa se

 x * y = y * x \qquad\mbox{per ogni }x,y\in S.

per ogni coppia di elementi  x e  y in  S . Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa.

Due elementi  x e  y commutano se  x * y = y *x . Quindi l'operazione  * è commutativa se e solo se due elementi di  S commutano sempre.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Operazioni commutative[modifica | modifica sorgente]

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione ( a+b ) e la moltiplicazione ( a \times b ), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

 4 + 5 = 5 + 4 (poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9)
 2 \times 3 = 3 \times 2 (poiché entrambe le espressioni valgono 6)

Altre operazioni binarie commutative sono:

Operazioni non commutative[modifica | modifica sorgente]

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione ( a-b ), la divisione ( a/b ) e l'esponenziazione ( a^b ), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni ( f(g(x)) ) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali  f(x) = x+3 e  g(y) = y^2 non commutano, in quanto

 g(f(x)) = x^2+6x+9,
 f(g(x)) = x^2 +3.

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio,


\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix} \times 
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\
1 & 0 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0 & 0 \\
1 & 0 \end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}

Strutture algebriche con operazioni commutative[modifica | modifica sorgente]

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Tavola di composizione[modifica | modifica sorgente]

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono


\begin{bmatrix} 
1&2&3&4&5&6\\
2&2&6&4&10&6\\
3&6&3&12&15&6\\
4&4&12&4&20&12\\
5&10&15&20&5&30\\
6&6&6&12&30&6\\
\end{bmatrix}
e 
\begin{bmatrix} 
1&1&1&1&1&1\\
1&2&1&2&1&2\\
1&1&3&1&1&3\\
1&2&1&4&1&2\\
1&1&1&1&5&1\\
1&2&3&2&1&6\\
\end{bmatrix}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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