Associatività

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In matematica, l'associatività (o proprietà associativa) è una proprietà che può avere una operazione binaria. Significa che l'ordine di valutazione è irrilevante se l'operazione appare più di una volta in una espressione. Detta in altro modo, non sono richieste parentesi per un'operazione associativa. Si consideri ad esempio l'uguaglianza

(5+2)+1 = 5+(2+1)

Sommando 5 e 2 si ottiene 7, e sommando 1 si ottiene il risultato 8 per il membro a sinistra. Per valutare il membro a destra, si inizia a sommare 2 e 1 ottenendo 3, e quindi si somma 3 e 5 per ottenere 8 ancora. Quindi l'uguaglianza è verificata. Di fatto è verificata per tutti i numeri reali, non solo per 5, 2, e 1. Diciamo che "l'addizione nell'insieme dei numeri reali è un'operazione associativa".

Le operazioni associative sono frequenti in matematica, e infatti molte strutture algebriche richiedono esplicitamente che le loro operazioni binarie siano associative. Tuttavia, molte operazioni importanti non sono associative; un esempio comune è il prodotto vettoriale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Formalmente, un'operazione binaria * su un insieme S è detta associativa se soddisfa la legge associativa:

(x*y)*z=x*(y*z)\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in S.

L'ordine di valutazione non influisce sul valore di tale espressione, e si dimostra che lo stesso vale per le espressioni che contengono un numero arbitrario di operazioni*. Quindi, quando * è associativa, l'ordine di valutazione può essere lasciato non specificato senza causare ambiguità, omettendo le parentesi e scrivendo semplicemente:

x*y*z.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Seguono alcuni esempi di operazioni associative.


   \left.
    \begin{matrix}
     (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad
    \\
     (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \,
    \end{matrix}
   \right\}
   \mbox{per ogni }x,y,z\in\mathbb{R}.
  • L'addizione e la moltiplicazione dei numeri complessi e dei quaternioni è associativa. La somma degli ottetti è ancora associativa, ma la moltiplicazione degli ottetti non è associativa.


   \left.
    \begin{matrix}
     \operatorname{M.C.D.}(\operatorname{M.C.D.}(x,y),z)=
     \operatorname{M.C.D.}(x,\operatorname{M.C.D.}(y,z))=
     \operatorname{M.C.D.}(x,y,z)\ \quad
    \\
     \operatorname{m.c.m.}(\operatorname{m.c.m.}(x,y),z)=
     \operatorname{m.c.m.}(x,\operatorname{m.c.m.}(y,z))=
     \operatorname{m.c.m.}(x,y,z)\quad
    \end{matrix}
   \right\}\mbox{ per ogni }x,y,z\in\mathbb{Z}.



   \left.
    \begin{matrix}
     (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\quad
    \\
     (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C\quad
    \end{matrix}
   \right\}\mbox{per tutti gli insiemi }A,B,C.
  • Se M è un dato insieme e S indica l'insieme di tutte le funzioni da M a M, allora l'operazione di composizione di funzioni su S è associativa:
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad\mbox{per ogni }f,g,h\in S.
  • Leggermente più in generale, dati quattro insiemi M, N, P e Q, con h: M a N, g: N a P, e h: P a Q, allora
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h
come prima. In breve, la composizione di mappe è sempre associativa.
  • Una matrice rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto a basi fissate, e il prodotto di matrici corrisponde alla composizione delle trasformazioni lineari corrispondenti. Dunque dall'associatività della composizione di funzioni segue l'associatività del prodotto di matrici.


Non associatività[modifica | modifica wikitesto]

Un'operazione binaria * su un insieme S che non soddisfa la legge associativa è detta non associativa. In simboli,

(x*y)*z\ne x*(y*z)\qquad\mbox{per qualche }x,y,z\in S.

Per tale operazione l'ordine di valutazione è importante. La sottrazione, la divisione e l'esponenziazione sono esempi ben noti di operazioni non associative:


    \begin{matrix}
     (5-3)-2\ne 5-(3-2)\quad
    \\
     (4/2)/2\ne 4/(2/2)\qquad\qquad
    \\
     2^{(1^2)}\ne (2^1)^2.\quad\qquad\qquad
    \end{matrix}

In generale, le parentesi devono essere usate per indicare l'ordine di valutazione, se un'operazione non associativa appare più di una volta in un'espressione. Tuttavia i matematici si accordano su un particolare ordine di valutazione per molte operazioni non associative comuni. Questa è una convenzione, e non una verità matematica.

Una operazione associativa a sinistra è un'operazione non associativa che viene valutata convenzionalmente da sinistra a destra, cioè,


  \left.
   \begin{matrix}
    x*y*z=(x*y)*z\qquad\qquad\quad\,
   \\
    w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad
   \\
    \mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right\}
  \mbox{per ogni }w,x,y,z\in S

mentre un'operazione associativa a destra è valutata convenzionalmente da destra a sinistra:


  \left.
   \begin{matrix}
    x*y*z=x*(y*z)\qquad\qquad\quad\,
   \\
    w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad
   \\
    \mbox{etc.}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right\}
  \mbox{per ogni }w,x,y,z\in S

Esistono sia operazioni associative a sinistra che operazioni associative a destra; sotto sono dati alcuni esempi.

Altri esempi[modifica | modifica wikitesto]

Le operazioni associative a sinistra includono:

  • Sottrazione e divisione di numeri reali:
x-y-z=(x-y)-z\qquad\mbox{per ogni }x,y,z\in\mathbb{R};
x/y/z=(x/y)/z\qquad\qquad\quad\mbox{per ogni }x,y,z\in\mathbb{R}\mbox{ con }y\ne0,z\ne0.

Le operazioni associative a destra includono le seguenti:

x^{y^z}=x^{(y^z)}.
La ragione per cui l'esponenziazione è associativa a destra è che un'esponenziazione associativa a sinistra ripetuta sarebbe meno pratica. Le ripetizioni multiple possono (e vengono) riscritte con il simbolo di moltiplicazione:
(x^y)^z=x^{(yz)}.
x = y = z;  significa  x = (y = z);  e non  (x = y) = z;
In altre parole, l'istruzione assegna il valore di z sia a x che a y.

Operazioni non associative per cui non è stato definito nessun ordine convenzionale di valutazione includono le seguenti:

  • Prendere la media di numeri reali:
{(x+y)/2+z\over2}\ne{x+(y+z)/2\over2}\ne{x+y+z\over3}\qquad\mbox{per qualche }x,y,z\in\mathbb{R}.
(A\backslash B)\backslash C\ne A\backslash (B\backslash C)\qquad\mbox{per qualche insieme }A,B,C.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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