Ottetto (matematica)

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In matematica, gli ottetti (o ottonioni) sono un'estensione non associativa dei quaternioni. L'algebra relativa viene spesso denotata con \mathbb{O} oppure con O.[1][2]

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Furono inventati da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley, che pubblicò il primo lavoro su essi nel 1845. Spesso ci si riferisce a essi come ai numeri di Cayley, agli ottetti di Cayley o all'algebra di Cayley.

Operazioni algebriche[modifica | modifica wikitesto]

Gli ottetti formano un'algebra a 8 dimensioni non associativa sul campo dei numeri reali e si possono quindi manipolare mediante ottuple (sequenze di lunghezza 8) di numeri reali. Lo spazio vettoriale degli ottetti è costituito dalle combinazioni lineari dei seguenti ottetti: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 e e7. Questi costituiscono una base di elementi invertibili dell'algebra.

Sommare degli ottetti vuol dire sommare i relativi coefficienti, come per i numeri complessi o per i quaternioni, e più in generale i vettori. La moltiplicazione degli ottetti si ottiene per bilinearità dalla matrice di moltiplicazione degli ottetti di base, la cui tabella è presentata qui sotto. Le sette unità immaginarie e l'unità non costituiscono un gruppo a causa della mancanza di associatività, ma formano comunque un quasigruppo e più precisamente un loop.

· 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 e1 −1 e4 e7 −e2 e6 −e5 −e3
e2 e2 −e4 −1 e5 e1 −e3 e7 −e6
e3 e3 −e7 −e5 −1 e6 e2 −e4 e1
e4 e4 e2 −e1 −e6 −1 e7 e3 −e5
e5 e5 −e6 e3 −e2 −e7 −1 e1 e4
e6 e6 e5 −e7 e4 −e3 −e1 −1 e2
e7 e7 e3 e6 −e1 e5 −e4 −e2 −1

Moltiplicazione degli ottetti e Piano di Fano[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi piano di Fano.
Moltiplicazione degli ottetti e Piano di Fano.

Una comoda regoletta mnemonica per ricordare i prodotti degli ottetti unitari è data dal diagramma del piano di Fano composto da sette punti e sette linee (il cerchio tra i, j, k è considerato una linea). Le linee si devono considerare orientate nel diagramma. I sette punti corrispondono alle sette unità immaginarie. Ogni paio di punti distinti giace su una unica linea e ogni linea passa esattamente da tre punti. Siano (a, b, c) una tripla ordinata di punti giacenti su una data linea con ordine specificato dalla direzione della freccia. La moltiplicazione è data da:

ab = c e ba = −c

soggetta a permutazione ciclica. Questa regola insieme a:

  • 1 è l'identità,
  • e2 = −1 per ogni punto del diagramma, definisce completamente la struttura moltiplicativa degli ottetti. Ognuna delle sette linee genera una sottoalgebra di O isomorfa ai quaternioni H.

In particolare sottoalgebre quaternioniche sono generate dalle unità immaginarie con i seguenti indici:

  • 1,2,4
  • 2,3,5
  • 3,4,6
  • 4,5,7
  • 5,6,1
  • 6,7,2
  • 7,1,3

Rappresentazione "matriciale" degli ottetti[modifica | modifica wikitesto]

Poiché la moltiplicazione degli ottetti non è associativa, contrariamente a quanto accade per i quaternioni non ne esiste una rappresentazione matriciale. Tuttavia Max Zorn propose una comoda rappresentazione, visivamente simile a quella matriciale, in cui l'ottetto viene decomposto come aggregato di due scalari e due vettori tridimensionali (Algebra di Zorn).

Sia A un generico elemento dell'Algebra di Zorn, detto vettore-matrice o matrice di Zorn:

A = \begin{bmatrix}
a & \vec b \\
\vec c & d \\
\end{bmatrix}

il prodotto tra due elementi dell'algebra di Zorn si definisce:

\begin{bmatrix}
a & \vec b \\
\vec c & d \\
\end{bmatrix}* \begin{bmatrix}
a' & \vec b' \\
\vec c' & d' \\
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
aa'+\vec b\cdot \vec c' & a \vec b'+\vec b d' -\vec c \wedge \vec c' \\
\vec c a' + d \vec c'  +\vec b \wedge \vec b' & dd'+\vec c\cdot \vec b'\\
\end{bmatrix}
= AB+\begin{bmatrix}
0 &  -\vec c \wedge \vec c' \\
+\vec b \wedge \vec b' & 0\\
\end{bmatrix}

che corrisponde alla comune moltiplicazione di matrici se si eccettuano i termini di prodotto vettoriale che rendono questa moltiplicazione non-associativa.

Con queste definizioni, si ha che gli ottetti possono essere espressi in forma "matricial-vettoriale" nell'algebra di Zorn. Si ha che un ottetto X può esser messo nella forma:

X = \begin{bmatrix}x+ i y & \mathbf v + i \mathbf w \\ 
-\mathbf v + i \mathbf w & x - i y\end{bmatrix}.

dove x e y sono numeri reali e v e w sono vettori in R3. Si noti la somiglianza con la rappresentazione matriciale dei quaternioni:

X = \begin{bmatrix}x+ i y & v + i w \\ 
- v + i  w & x - i y\end{bmatrix}.

dove stavolta x,y,v,w sono tutti numeri reali.

Il "determinante" di una matrice di Zorn si definisce come consueto:

\det\begin{bmatrix}a & \mathbf b\\ \mathbf c & d\end{bmatrix} = ad - \mathbf b\cdot\mathbf c.

Questo determinante è una forma quadratica dell'algebra di Zorn che soddisfa la regola:

\det(AB) = \det(A)\det(B).

Pertanto il determinante della matrice di Zorn associato ad un ottetto è:

\det\begin{bmatrix}x+ i y & \mathbf v + i \mathbf w \\ 
-\mathbf v + i \mathbf w & x - i y\end{bmatrix} = x^2 +y^2+ \mathbf v^2+ \mathbf w ^2,

ossia la norma al quadrato stessa dell'ottetto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Gli ottetti forniscono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile sul campo dei numeri reali. Le uniche algebre a dimensione finita associative sono costituite dai numeri reali stessi (algebra monodimensionale), dai numeri complessi (algebra bidimensionale) e dai quaternioni (algebra quadridimensionale). Mentre già con i quaternioni si perde la commutatività della moltiplicazione, gli ottetti perdono anche l'associatività:

\, (ij)l = -i(jl)

In essi comunque non esistono divisori dello zero.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi dominio di integrità.

Tuttavia essi sono collegati ad alcune strutture matematiche come i gruppi di Lie eccezionali. Il gruppo degli automorfismi (simmetrici) degli ottetti è il gruppo di Lie G2.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. Lounesto,  p. 97
  2. ^ I.-R. Porteous,  p. 178

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4.
  • (EN) H.-D. Ebbinghaus et al. (eds.), Numbers, Springer, 1991.
  • (EN) I.-R. Porteous, Clifford Algebras and the ClassicalGroups, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55177-3.

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