Quaternione

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Frattale costruito come insieme di Julia, definito con i quaternioni.

In matematica, i quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843 come estensioni dei numeri complessi.

L'insieme \mathbb{H} \ \ dei quaternioni è un corpo non commutativo: soddisfa quindi tutte le proprietà usuali dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. Tutte le estensioni dei quaternioni, quindi ottetti e sedenioni a loro volta, non hanno la proprietà associativa.

I quaternioni contengono i numeri complessi, e, sul campo reale, sono anche uno spazio vettoriale a dimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio sui reali a 2 dimensioni). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di algebra di divisione non commutativa.

Analogamente all'analisi complessa e allo studio delle funzioni olomorfe di variabile complessa, raccoglie un interesse crescente l'analisi ipercomplessa e lo studio delle funzioni "regolari" di variabile quaternionica. [1] [2]

I quaternioni hanno importanti applicazioni nello studio del gruppo delle rotazioni dello spazio tridimensionale, nella fisica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica). Impieghi "sorprendenti" dei quaternioni sono la robotica, in cui trovano impiego per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi, il controllo d'assetto, in quanto il calcolo tramite quaternioni è più stabile, e la computer grafica 3D.


Storia[modifica | modifica sorgente]

Sul Broom Bridge c'è ora una lapide che recita:
«Here as he walked by
on the 16th of October 1843
Sir William Rowan Hamilton
in a flash of genius discovered
the fundamental formula for
quaternion multiplication
i2 = j2 = k2 = i j k = −1
& cut it on a stone of this bridge.»

(Mentre qui passeggiava, il 16 ottobre 1843 Sir William Rowan Hamilton, in un lampo d'ispirazione scoprì la formula fondamentale per la moltiplicazione dei quaternioni, e la incise su una pietra di questo ponte.)

I quaternioni furono formalizzati dal matematico irlandese William Rowan Hamilton nel 1843. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (che possono essere visti come punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4: i quaternioni. In seguito raccontò di aver fatto questa scoperta nel corso di una passeggiata con sua moglie, quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione

 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. \ \

Eccitato dalla scoperta, incise l'equazione sul lato del vicino ponte Brougham (noto ora come Broom Bridge) a Dublino.

Questa formalizzazione necessitava l'abbandono della commutatività della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'algebra lineare ed il prodotto fra matrici. Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il prodotto vettoriale e il prodotto scalare negli spazi vettoriali. Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte 'scalare', e le rimanenti tre sono la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, Elementi sui quaternioni aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.

L'uso dei quaternioni suscitò delle controversie. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'algebra lineare e del calcolo vettoriale (sviluppato fra gli altri da Oliver Heaviside e Willard Gibbs), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni (se si escludono gli ottetti in dimensione otto). Una prima versione delle equazioni di Maxwell utilizzava una notazione basata sui quaternioni.

Oggi, i quaternioni vengono utilizzati principalmente nella rappresentazione di rotazioni e direzioni nello spazio tridimensionale. Hanno quindi applicazioni nella computer grafica 3D, nella teoria del controllo, nell'elaborazione dei segnali, nel controllo dell'assetto, in fisica e in astrodinamica. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un quaternione è un elemento scrivibile come

 a+bi+cj+dk

con a, b, c e  d numeri reali ed  i, j, k simboli letterali.

Somma e prodotto di due quaternioni sono definiti tenendo conto delle relazioni

 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,

che implicano in particolare le relazioni seguenti:

 ij = k,
  jk = i,
  ki= j,
 ji =-k,
 kj = -i,
 ik = -j.

I risultati delle moltiplicazioni fra due di questi elementi sono riassunti nella tabella:

 \times  1  i  j  k
 1  1  i  j  k
 i  i  -1  k  -j
 j j  -k  -1  i
 k  k  j -i  -1

La somma ed il prodotto di due quaternioni sono calcolate con gli usuali passaggi algebrici, usando le relazioni di moltiplicazione appena descritte. La somma di due quaternioni è quindi data da:

 (a_1+b_1i+c_1j+d_1k) + (a_2+b_2i+c_2j+d_2k) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i + (c_1+c_2)j + (d_1+d_2)k

mentre il loro prodotto risulta essere il seguente:

 (a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k) =
 =(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 +c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 + c_1a_2 +d_1b_2 - b_1d_2)j + (a_1d_2 + d_1a_2+b_1c_2 - c_1b_2)k.

I quaternioni contengono in modo naturale i numeri reali (i quaternioni del tipo  q = a , con  b=c=d=0 ) ed i numeri complessi (i quaternioni del tipo  q = a +bi , con  c=d=0 ).

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Due quaternioni:

 x = 3+i
 y = 5i+j-2k

Somma e prodotto sono dati da:

 x+y = 3+6i+j-2k
 xy = (3+i)(5i+j-2k) = 15i+3j-6k+5i^2+ij-2ik = 15i+3j-6k-5+k+2j =
 = -5+15i+5j-5k.

Proprietà basilari[modifica | modifica sorgente]

I quaternioni hanno molte caratteristiche proprie dei numeri complessi: anche per i quaternioni, in analogia con i complessi, possono essere definiti concetti come norma e coniugato; ogni quaternione, se diverso da zero, possiede un inverso rispetto al prodotto. Si differenziano però dai numeri complessi per il fatto che il loro prodotto può non essere commutativo.

Prodotto non commutativo[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto di due quaternioni non è in generale commutativo. Ad esempio, come si è già visto,  ij = k è diverso da  ji = -k .

Coniugato[modifica | modifica sorgente]

Il coniugato di un quaternione  q = a+bi+cj+dk è il quaternione

\bar q = q' = a-bi-cj-dk.

(a volte indicato anche con q^*).

Il coniugato soddisfa le proprietà seguenti:

 \overline{\overline {q}} = q,
 \overline {q+q'} = \overline q + \overline q',
 \overline {qq'} = \overline q' \overline q.

Il coniugato può anche essere espresso da una combinazione lineare di q, con coefficienti contenenti i, j, k, nel seguente modo:

\bar q = -\frac{q +iqi+jqj+kqk}{2}

Norma[modifica | modifica sorgente]

La norma di  q è il numero reale non negativo

|q|= \sqrt{q \bar q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.

La norma di  q è sempre positiva, e nulla soltanto se  q = 0 . Valgono le relazioni seguenti:

|q|^2 = q\bar q,
|qq'| = |q||q'|.\,\!

Inverso[modifica | modifica sorgente]

Un quaternione  q diverso da zero ha un inverso per la moltiplicazione, dato da

 q^{-1} = \frac{\overline q}{|q|^2}.

Infatti

 qq^{-1} = q\frac{\overline q}{|q|^2} = \frac {q\overline q}{|q|^2} = \frac{|q|^2}{|q|^2} = 1

e similmente q^{-1}q = 1 . Valgono le proprietà seguenti:

 |q^{-1}| = \frac 1{|q|},
 \overline {q^{-1}} = {\overline q}^{-1},
 (qq')^{-1} = {q'}^{-1}q^{-1}.\,\!

Struttura algebrica[modifica | modifica sorgente]

Con le operazioni di somma e prodotto, l'insieme dei quaternioni, indicato a volte con \mathbb H , forma un anello non commutativo, più precisamente un corpo non commutativo.

Con le operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale  \lambda , data da

\lambda (a+bi+cj+dk) = \lambda a + \lambda bi + \lambda cj + \lambda dk,

i quaternioni formano anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4: una base per lo spazio è data dagli elementi \{1,i,j,k\} .

Le due strutture di corpo e di spazio vettoriale sono riassunte dal concetto di algebra di divisione. I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative costruite sui numeri reali aventi dimensione finita.

Struttura metrica[modifica | modifica sorgente]

Usando la funzione distanza

 d(q,q') = |q-q'|,

i quaternioni formano uno spazio metrico, isometrico allo spazio \R4 dotato della usuale metrica euclidea. Le coordinate (a,b,c,d) di un quaternione  q lo identificano come elemento di \R^4 , e tramite questa identificazione, la norma |q| è semplicemente la norma euclidea.

Con la norma, i quaternioni formano un'algebra di Banach reale.

Quaternioni unitari[modifica | modifica sorgente]

Gruppo di Lie[modifica | modifica sorgente]

I quaternioni unitari sono i quaternioni di norma 1. Ad esempio,  1,i,j e  k sono unitari. Nell'identificazione con \R^4 , i quaternioni unitari formano una ipersfera quadridimensionale.

 S^3 = \{(a,b,c,d)\in\R^4\ |\ a^2+b^2+c^2+d^2=1 \}.

I quaternioni unitari formano un gruppo moltiplicativo rispetto al prodotto. Tale gruppo, a differenza del suo analogo complesso, non è abeliano. Con la struttura di varietà differenziabile data da  S^3 , esso formano un gruppo di Lie.

Gruppo di rotazioni[modifica | modifica sorgente]

Ogni quaternione unitario q_0 definisce una rotazione dello spazio \R^3 nel modo seguente. Si usa la notazione scalare-vettore  q=(a,v) , e si identifica \R^3 con l'insieme dei quaternioni (0,v) con prima coordinata nulla. La rotazione determinata da q_0 è data dall'operazione di coniugio

 q\mapsto q_0qq_0^{-1}.

Si verifica infatti facilmente che se  q ha prima coordinata nulla, anche q_0qq_0^{-1} ha prima coordinata nulla: è quindi definita un'azione del gruppo dei quaternioni unitari su \R^3 . Ogni mappa definita in questo modo è effettivamente una rotazione, poiché preserva la norma:

 |q_0qq_0^{-1}| = |q_0||q||q_0^{-1}| = |q_0||q||q_0|^{-1} = |q|.

I quaternioni unitari sono quindi un utile strumento per descrivere sinteticamente le rotazioni in \R^3. Ogni rotazione è esprimibile in questo modo, e due quaternioni q_0,q_0' definiscono la stessa rotazione se e solo se q_0 = - q_0' .

Rivestimenti[modifica | modifica sorgente]

Associando ad ogni quaternione unitario una rotazione, si è definito una mappa

 S^3 \to SO(3)

dal gruppo dei quaternioni unitari sul gruppo ortogonale speciale delle rotazioni dello spazio tridimensionale. Per quanto appena detto, la mappa è suriettiva, ma non iniettiva: la controimmagine di un punto è data da due punti opposti \{\pm q_0 \} . In particolare, tale mappa è un rivestimento di grado 2.

Poiché  S^3 è semplicemente connesso, questo è il rivestimento universale di  SO(3) , che ha quindi come gruppo fondamentale il gruppo ciclico \mathbb Z/_{2\mathbb Z} con due elementi. Topologicamente,  SO(3) è omeomorfo allo spazio proiettivo \mathbb P^3(\R) .

Sottogruppo finito[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Gruppo dei quaternioni.

Il sottogruppo generato dagli elementi \{1,i,j,k\} è un gruppo finito: ha ordine 8, e viene spesso indicato con Q_8 . I suoi otto elementi sono

\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}.

Il gruppo  Q_8 è il più piccolo gruppo non abeliano dopo il gruppo di permutazioni  S_3 , che ha ordine 6.

Notazioni e rappresentazioni alternative[modifica | modifica sorgente]

Notazione scalare/vettore[modifica | modifica sorgente]

Il quaternione  q = a +bi +cj +dk può essere descritto anche dalla coppia  (a, v) , dove  v = (b,c,d) è un vettore in \R^3 . Con questa notazione, somma e prodotto possono essere descritti nel modo seguente:

\begin{matrix}q_1 + q_2 &=& (a_1 , v_1) + (a_2, v_2) = (a_1+a_2, v_1 + v_2) \\
q_1 \cdot q_2 &=& (a_1 a_2 - v_1 \cdot v_2, a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \wedge v_2)\end{matrix}

dove si usano il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale fra vettori di \R^3 . Le nozioni di coniugato e norma diventano:

\bar q = (a ,-v)
|q|^2 = a^2 + |v|^2\,\!

usando l'usuale norma di un vettore in \R^3 .

Coppia di numeri complessi[modifica | modifica sorgente]

Grazie alla relazione  k = ij = -ji, ogni quaternione può essere scritto usando soltanto i simboli  i e  j nel modo seguente:

 q = a+bi+cj+dk = a+bi + cj-dji = a+bi + j(c-di)\,\!

Quindi

 q = z +jw

dove  z = a+bi e  w=c-di sono due numeri complessi. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono in modo usuale, applicando la relazione

ij = -ji.

Per quanto riguarda coniugato e norma, risulta rispettivamente

\bar q = (\bar z ,-w)
|q|^2 = |z|^2 + |w|^2\,\!

Matrici[modifica | modifica sorgente]

I quaternioni possono essere espressi tramite matrici  2\times 2 di numeri complessi, oppure matrici  4\times 4 di numeri reali.

Matrici  2\times 2 complesse[modifica | modifica sorgente]

Gli elementi  1,i,j,k sono rappresentati rispettivamente da:

\left[
\begin{matrix}
1, &0\\
0, &1\\
\end{matrix}\right], \quad 
\left[
\begin{matrix}
0, &1\\
-1, &0\\
\end{matrix}\right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0, &i\\
i, &0\\
\end{matrix}\right], \quad
\left[
\begin{matrix}
i, &0\\
0, &-i\\
\end{matrix}\right].

Il quaternione  a+bi+cj+dk è quindi rappresentato da

\begin{bmatrix} a+di & b+ci \\ -b+ci & \,\, a-di \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} z & -\overline{w} \\ w & \,\, \overline{z} \end{bmatrix}

Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:

  • Tutti i numeri complessi (i quaternioni con  c=d=0 ) corrispondono a matrici a valori solo reali.
  • Il quadrato della norma di un quaternione è uguale al determinante della matrice corrispondente.
  • Il coniugato di un quaternione corrisponde alla coniugata trasposta della matrice corrispondente.
  • Limitandola ai quaternioni unitari, questa rappresentazione fornisce un isomorfismo di gruppo tra le sfere S^3 ed il gruppo unitario speciale SU(2). Questo gruppo è strettamente collegato alle matrici di Pauli, ed è importante nella meccanica quantistica per rappresentare lo spin.

Matrici  4\times 4 reali antisimmetriche[modifica | modifica sorgente]

Gli elementi  1,i,j,k sono rappresentati rispettivamente da:

 
\left[
\begin{matrix}
1,&0,&0,&0\\
0,&1,&0,&0\\
0,&0,&1,&0\\
0,&0,&0,&1\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&1,&0,&0\\
-1,&0,&0,&0\\
0,&0,&0,&1\\
0,&0,&-1,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&0,&0,&-1\\
0,&0,&-1,&0\\
0,&1,&0,&0\\
1,&0,&0,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
\begin{matrix}
0,&0,&-1,&0\\
0,&0,&0,&1\\
1,&0,&0,&0\\
0,&-1,&0,&0\\
\end{matrix} \right].

Il quaternione  a+bi+cj+dk è quindi rappresentato da

\begin{bmatrix}
 a & b & -d & -c \\ 
 -b & a & -c & d \\
 d & c & a & b \\
 c & -d & -b & a 
\end{bmatrix}

In questa rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla trasposta della matrice.

Equazioni sui quaternioni[modifica | modifica sorgente]

La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei polinomi definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione  q^2+1 = 0 per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i

q = bi+cj+dk

con b^2+c^2+d^2=1 .

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Se F è un generico campo e a e b sono elementi di F, è possibile definire un'algebra associativa unitaria a quattro dimensioni su F usando due generatori i e j e le relazioni i2 = a, j2 = b e ij = −ji. Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle matrici 2×2 su F, e inoltre sono delle algebre di divisione su F. Sono chiamate algebre di quaternioni.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ http://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAA
  2. ^ Graziano Gentili, Catarina Stoppato & D.C. Struppa (2013) Regular Functions of a Quaternionic Variable, Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0


Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]