Funzione iniettiva

Un esempio di funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva (o ingettiva, oppure si dice che è una iniezione) se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte.

Definizione

Una funzione si dice iniettiva se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio:

$f:X \rightarrow Y$ è iniettiva se e solo se $\forall x_1, x_2 \in X, x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

o, equivalentemente, utilizzando la contronominale:

$f:X \rightarrow Y$ è iniettiva se e solo se $\forall x_1, x_2 \in X, f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$

Un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo lo zero del dominio.
Se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è iniettiva allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse x (corrispondente al dominio) questa intersecherà il grafico della funzione al più una volta.

L'iniettività di una funzione è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché esista la funzione inversa. Se una funzione è iniettiva esiste sicuramente però una funzione inversa parziale, cioè non definita su tutto il codominio ma solo sull'insieme delle immagini:

$f^{-1}:f(X) \to X.$

Se una funzione iniettiva è anche suriettiva (si dice allora funzione biiettiva) allora ammette una funzione inversa. Viceversa se una funzione è invertibile allora è anche iniettiva e suriettiva.

La funzione composta ottenuta componendo due funzioni iniettive è a sua volta una funzione iniettiva; ma se $g \circ f$ è iniettiva, possiamo concludere solo che f è iniettiva, g potrebbe non esserlo. Più in generale, se abbiamo una composizione di n funzioni $f_n \circ f_{n-1} \circ ... \circ f_2 \circ f_1$ iniettiva, allora possiamo affermare che sicuramente $f_1$ è iniettiva.

Attenzione a non confondere il concetto di iniettività con la definizione di funzione: il primo dice che ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento del dominio, la seconda invece dice che una funzione generica associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Infatti può succedere che a diversi elementi del dominio sia associato lo stesso elemento del codominio (ad esempio nella funzione costante che non è iniettiva).

Esempi

Esempi molto generali di funzioni iniettive sono la funzione identità $f(x) \,=\ x$ e la inclusione canonica.

Un esempio di funzione non iniettiva è dato da:

$f(x) \,=\, x^2$

definita per ogni x reale, infatti un numero reale e il suo opposto hanno lo stesso quadrato (ad esempio: f(2)=2² = f(-2)=(-2)² = 4). La restrizione della funzione f(x) ai soli numeri reali positivi è invece iniettiva.

Invece la funzione esponenziale

$f(x) \,=\, e^{x}$

è iniettiva perché non esistono esponenti diversi che applicati ad $e$ portino entrambi allo stesso risultato.

Un'altra funzione iniettiva è, di conseguenza, la funzione logaritmo in qualunque base

$f(x) \,=\, \log{x}$

dove se a è diverso da b, anche $log(a)$ sarà diverso da $log(b)$.

Non è invece iniettiva la funzione seno

$f(x) \,=\, \sin{x}$

dato che

$\sin{a} \,=\, \sin{a+2k\pi} \$

con $k\in\mathbb Z$. In generale non è iniettiva nessuna funzione periodica, dato che ad un valore di y corrispondono infiniti valori di x.

Una funzione iniettiva, dunque, è una funzione in cui ogni elemento di X è controimmagine di al di più un elemento di Y.

Proprietà

• Una funzione di argomento reale e valori reali è iniettiva se e solo se ogni retta parallela all'asse X incontra il grafico che la descrive al più in un solo punto.

Cardinalità della funzione Iniettiva

Il numero delle possibili funzioni iniettive da un insieme finito A ad un insieme finito B è dato dalle disposizioni di "m" elementi di classe "n", rispettivamente, di A e B:

$|\text{InjMap}|(A\to B)=\frac{n!}{\left(n-m \right)!}$

Voci correlate

• Funzione suriettiva
• Funzione biiettiva

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