Funzione iniettiva

Un esempio di funzione iniettiva

Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che porta elementi distinti del dominio in elementi distinti del codominio.
In altre parole, ogni elemento dell'immagine è immagine di un solo elemento del dominio.

Definizione

Una funzione $f\colon A\to B$ si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ovvero $a_1\neq a_2$ implica $f(a_1)\neq f(a_2)$; equivalentemente, se due elementi del dominio che hanno la stessa immagine coincidono, ovvero $f(a_1)=f(a_2)$ implica $a_1=a_2$.

Simbolicamente:

$\forall x,y \in A, \;\; f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$

oppure, nella forma contronominale:

$\forall x,y \in A, \;\; x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y).$

Proprietà

Grafico

La funzione esponenziale $\exp(x)=e^x$, definita da $\mathbb R$ in sé, è strettamente crescente e iniettiva.

Se $f\colon A\to B$ è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine $\text{Im}(f)=f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico $\Gamma(f)=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}$ sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se $f$ è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle $x$ intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).

Omomorfismi

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo. Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se è solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità

La funzione esponenziale, definita da $\mathbb{R}$ alla sola immagine $\exp(\mathbb{R})=]0,\infty[$ è invertibile, con inversa la funzione logaritmo $\log(x)$La funzione logaritmo $\log(x)$ è l'inversa della funzione esponenziale $\exp(x)=e^x$, se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo $(0,+\infty)$

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva $f\colon A\to B$ non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione $\tilde{f}\colon A\to f(A)$, invertibile.

Una funzione invertibile $f$ è iniettiva, ed anche la sua inversa $f^{-1}$, essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

$a_1\neq a_2\Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2) \Rightarrow g(f(a_1))\neq g(f(a_2))$

Se la funzione composta $g \circ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva, ma non è detto che $g$ lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva $g\circ f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\to e^{2x}$ è composizione di una funzione iniettiva $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\to e^x$ e di una funzione non iniettiva $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\to x^2$.

Se esistono due funzioni distinte $g,h\colon C\to A$ tali che $f\circ g=f\circ h$, allora $f$ non è iniettiva: infatti esiste un $c\in C$ con $g(c)\neq h(c)$, ma $f(g(c))=f(h(c))$.

Cardinalità

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito $A$ con $n$ elementi ad un insieme finito $B$ con $m$ elementi è pari al numero di disposizioni semplici di $m$ elementi, presi $n$ a $n$:

$\frac{m!}{(m-n)!}$.

Altre proprietà

• Se $f:A\rightarrow B$ è iniettiva, e $X$ e $Y$ sono sottinsiemi di A, allora $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$.

• Ogni funzione $f\colon A\rightarrow B$ può essere scomposta come composizione $f=h\circ g$ di una funzione suriettiva $g\colon A\to f(A)$ e di una funzione iniettiva $h\colon f(A)\to B$, definendo $g(a)=f(a)$ e $h(b)=b$.

Esempi

• Su ogni insieme $X$ la funzione identità $id_X\colon X\to X\colon x\mapsto x$ è iniettiva (e suriettiva).
• L'inclusione $\imath\colon Y\hookrightarrow X$ di un sottoinsieme $Y\subset X$ in $X$, essendo restrizione dell'identità $id_X$, è iniettiva.
• Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, $f\colon\{x\}\to Y$, è iniettiva.
• Una funzione definita sull'insieme vuoto, $f\colon\emptyset\to Y$, è iniettiva.
• Una funzione costante, $f_y\colon X\to Y\colon x\mapsto y$, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
• Per $a,b\in\mathbb{R}$ e $a\neq0$, la funzione $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto ax+b$ è iniettiva (e suriettiva).
• La funzione esponenziale $\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ non è iniettiva.
• La funzione esponenziale $\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è iniettiva.
• La funzione logaritmo, $\log\colon\R^+_0\to\R$, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, $f\in D^1(\mathbb{R})$, la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
• Una funzione reale derivabile, $f\in D^1(\mathbb{R})$, la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
• La funzione quadrato $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}\colon x\mapsto x^2$ è iniettiva.
• La funzione quadrato $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto x^2$ non è iniettiva.
• La funzione cubo $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto x^3$ è iniettiva.
• La funzione cubo $f\colon\mathbb{F}_7\to\mathbb{F}_7\colon x\mapsto x^3$ non è iniettiva.
• Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Voci correlate

• Funzione suriettiva
• Funzione biiettiva
• Immersione

Bibliografia

• I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti, 1995. ISBN 88-359-3634-9
• Thomas W. Hungerford, Algebra, New York, Springer-Verlag, 1974. ISBN 0-387-90518-9
• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007. ISBN 978-88-251-7319-2

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