Funzione iniettiva

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Un esempio di funzione iniettiva
Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che porta elementi distinti del dominio in elementi distinti del codominio.
In altre parole, ogni elemento dell'immagine è immagine di un solo elemento del dominio.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione f\colon A\to B si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ovvero a_1\neq a_2 implica f(a_1)\neq f(a_2); equivalentemente, se due elementi del dominio che hanno la stessa immagine coincidono, ovvero f(a_1)=f(a_2) implica a_1=a_2.

Simbolicamente:[1][2]

\forall x,y \in A, \;\; f(x)=f(y) \Rightarrow x=y

oppure, nella forma contronominale:[3]

\forall x,y \in A, \;\; x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Grafico[modifica | modifica sorgente]

Questo è il grafico di una funzione reale di variabile reale non iniettiva; c'è quindi una retta parallela all'asse x che lo interseca in più di un punto

Se f\colon A\to B è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine \text{Im}(f)=f(A)=\{f(a)\mid a\in A\} è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico \Gamma(f)=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\} sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se f è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle x intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).

Viceversa, se f è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, f(a_1)=f(a_2)=b. Dunque la retta y=b interseca il grafico \Gamma(f) in almeno due punti: (a_1,b) e (a_2,b).

Omomorfismi[modifica | modifica sorgente]

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro. [4][5]

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.[6] Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità[modifica | modifica sorgente]

La funzione esponenziale, definita da \mathbb{R} alla sola immagine \exp(\mathbb{R})=]0,\infty[ è invertibile, con inversa la funzione logaritmo \log(x)La funzione logaritmo \log(x) è l'inversa della funzione esponenziale \exp(x)=e^x, se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo (0,+\infty)

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva f\colon A\to B non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione \tilde{f}\colon A\to f(A), invertibile.

Una funzione invertibile f è iniettiva, ed anche la sua inversa f^{-1}, essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione[modifica | modifica sorgente]

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

a_1\neq a_2\Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2) \Rightarrow g(f(a_1))\neq g(f(a_2))

Se la funzione composta g \circ f è iniettiva, allora f è iniettiva, ma non è detto che g lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva g\circ f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\to e^{2x} è composizione di una funzione iniettiva f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\to e^x e di una funzione non iniettiva g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\to x^2.

Se esistono due funzioni distinte g,h\colon C\to A tali che f\circ g=f\circ h, allora f non è iniettiva: infatti esiste un c\in C con g(c)\neq h(c), ma f(g(c))=f(h(c)).

Cardinalità[modifica | modifica sorgente]

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive[modifica | modifica sorgente]

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito A con n elementi ad un insieme finito B con m elementi è pari al numero di disposizioni semplici di m elementi, presi n a n:

\frac{m!}{(m-n)!}.

Altre proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Se f:A\rightarrow B è iniettiva, e X e Y sono sottinsiemi di A, allora f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y).
  • Ogni funzione f\colon A\rightarrow B può essere scomposta come composizione f=h\circ g di una funzione suriettiva g\colon A\to f(A) e di una funzione iniettiva h\colon f(A)\to B, definendo g(a)=f(a) e h(b)=b.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Su ogni insieme X la funzione identità id_X\colon X\to X\colon x\mapsto x è iniettiva (e suriettiva).
  • L'inclusione \imath\colon Y\hookrightarrow X di un sottoinsieme Y\subset X in X, essendo restrizione dell'identità id_X, è iniettiva.
  • Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, f\colon\{x\}\to Y, è iniettiva.
  • Una funzione definita sull'insieme vuoto, f\colon\emptyset\to Y, è iniettiva.
  • Una funzione costante, f_y\colon X\to Y\colon x\mapsto y, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
  • Per a,b\in\mathbb{R} e a\neq0, la funzione f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto ax+b è iniettiva (e suriettiva).
  • La funzione esponenziale \exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} non è iniettiva.
  • La funzione esponenziale \exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} è iniettiva.
  • La funzione logaritmo, \log\colon\R^+_0\to\R, è iniettiva.
  • Una funzione reale derivabile, f\in D^1(\mathbb{R}), la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
  • Una funzione reale derivabile, f\in D^1(\mathbb{R}), la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
  • La funzione quadrato f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}\colon x\mapsto x^2 è iniettiva.
  • La funzione quadrato f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto x^2 non è iniettiva.
  • La funzione cubo f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto x^3 è iniettiva.
  • La funzione cubo f\colon\mathbb{F}_7\to\mathbb{F}_7\colon x\mapsto x^3 non è iniettiva.
  • Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Herstein, I. N., op. cit., Pag. 13
  2. ^ Hungerford, T. W., op. cit., Pag. 4
  3. ^ Soardi, P.M., op. cit., Pag.31
  4. ^ Herstein, I. N., op. cit., Pag. 61
  5. ^ Hungerford, T. W., op. cit., Pag. 31
  6. ^ Lang, Serge, op. cit., Pag. 94

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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