Funzione suriettiva

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Un esempio di funzione suriettiva

Una funzione si dice suriettiva (o surgettiva, o una suriezione) quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una funzione f:X \rightarrow Y è detta suriettiva se \forall y \in Y, \exist x \in X | f(x) = y.

La composta di due funzioni suriettive è a sua volta suriettiva; ma se g \circ f è suriettiva, possiamo concludere solo che g è suriettiva

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Per ogni insieme X, la funzione identità idX su X è suriettiva.
  • La funzione fR → R definita da f(x) = 2x + 1 è suriettiva, perché per ogni numero reale y si ha f(x) = y dove x è (y - 1)/2.
  • La funzione logaritmo naturale ln: R+ → R è suriettiva.
  • Sia la parabola f(x) = x2 definita in maniera seguente: f:  \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}; questa funzione non è suriettiva in quanto l'insieme delle immagini è costituito da tutti i numeri reali non negativi. Per rendere suriettiva questa funzione è sufficiente effettuare questa restrizione: f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}, ovvero considerare un codominio diverso.

Se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è suriettiva allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse x questa intersecherà il grafico della funzione almeno una volta.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Una funzione fX → Y è suriettiva se e solo se esiste una funzione gY → X tale che f o g è la funzione identità su Y. (Tale proposizione è equivalente all'assioma della scelta.)
  • Se f e g sono entrambe suriettive, allora f o g è suriettiva.
  • Se f o g è suriettiva, allora f è suriettiva (ma g può non esserlo).
  • fX → Y è suriettiva se e solo se, per ogni coppia di funzioni g,h:Y → Z, ogni volta che g o f = h o f, allora g = h. In altri termini, le funzioni suriettive sono esattamente gli epimorfismi nella categoria Ins di tutti gli insiemi.
  • Se fX → Y è suriettiva e B è un sottoinsieme di Y, allora f(f −1(B)) = B. Ne consegue che B può essere ricostruito dalla sua controimmagine f −1(B).
  • Per ogni funzione hX → Z esistono una suriezione f e una funzione iniettiva g tale che h può essere decomposta come h = g o f. Tale decomposizione è unica a meno di un isomorfismo, e f può essere vista come una funzione avente gli stessi valori di h ma il cui codominio è ristretto all'insieme immagine h(W) di h, che è un sottoinsime del codominio Z di h.
  • Aggregando insieme tutte le controimmagini di una prefissata immagine, ogni funzione suriettiva induce una funzione biunivoca definita sul quoziente del suo dominio. In particolare, ogni funzione suriettiva f : AB può essere fattorizzata in una proiezione seguita da una biiezione nel seguente modo. Sia A/~ l'insieme delle classi di equivalenza di A rispetto alla seguente relazione d'equivalenza: x ~ y se e solo se f(x) = f(y). Sia P(~) : AA/~ la proiezione che associa ogni x in A alla sua classe d'equivalenza [x]~, e sia fP : A/~ → B la funzione ben definita data da fP([x]~) = f(x). Allora f = fP o P(~).
  • Se fX → Y è suriettiva, allora X ammette almeno lo stesso numero di elementi di Y.
  • Se X e Y sono finiti con lo stesso numero di elementi, allora f : X → Y è suriettiva se e solo se f è iniettiva.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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