Sistema di equazioni lineari

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In algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema di equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di m equazioni lineari in n incognite, che può essere scritto nel modo seguente:[1][2]


\left\{
\begin{matrix} 
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 +\cdots + a_{m,n}x_n = b_m\\
\end{matrix}
\right.

Il numero n delle incognite è detto anche ordine del sistema. Il sistema può essere descritto usando la matrice:

(A|\mathbf b) = \left(\begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix}\right| \left. \begin{matrix}  b_1\\ \vdots \\b_m\end{matrix}\right)

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti:

 A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & 
\ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}

e di un'ulteriore colonna:

 \mathbf b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

detta colonna dei termini noti.

Le matrici  A \ e  (A|\mathbf b) sono dette rispettivamente matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) e completa (o orlata). I numeri x_1,\dots,x_n sono le incognite, i numeri a_{ij} sono i coefficienti ed i numeri b_i i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.

Se termini noti b_i sono tutti nulli il sistema è detto omogeneo. Una n-upla (x_1,\dots,x_n) di elementi nel campo è una soluzione del sistema se soddisfa tutte le m equazioni.[3]

Due sistemi si dicono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro. Due tali sistemi hanno la medesima soluzione.[4]

Scritture equivalenti[modifica | modifica sorgente]

Usando le matrici ed il prodotto fra matrici e vettori si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:


\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

In modo più compatto si scrive:

A \mathbf x = \mathbf b

dove A è la matrice m \times n dei coefficienti, \mathbf x è il vettore delle n incognite e \mathbf b è il vettore degli m termini noti.

Dette  A^1, \ldots, A^n le colonne di A, il sistema è equivalente alla combinazione lineare:[1]

\sum_i^n x_iA^i = \mathbf b

Dette  A_1, \ldots, A_m le righe di A, il sistema è equivalente all'elenco di prodotti scalari standard:[5]

\langle A_1 , \mathbf x \rangle = b_1
\cdots
\langle A_m , \mathbf x \rangle = b_m

ovvero:

\sum_j^n a_{ij}x_j = b_i

Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.

In generale, un sistema lineare può essere:

  • Determinato, quando ha una sola soluzione.
  • Impossibile, quando non ha nessuna soluzione.
  • Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
  • Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri.
  • Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali.
  • Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero.

Due sistemi sono detti equivalenti quando hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Se il campo K di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine n è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di K^n.

Il sistema omogeneo associato[modifica | modifica sorgente]

Si consideri l'applicazione lineare:

L(\mathbf x) = \sum_i^n x_iA^i

Il nucleo di L è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne  A^1, \ldots, A^n . Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di A è pari ad n.

Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di A. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad n.

Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango r per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione n-r.[5] Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione  n - \rho(A) .

Lo spazio delle soluzioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Rouché-Capelli.

Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore  \mathbf b è l'immagine del vettore  \mathbf x ottenuta mediante l'applicazione lineare  L_A : K^n \to K^ m\,\! definita nel seguente modo:

 L_A( \mathbf x) = A \mathbf x \

L'immagine di  L_A è generata dai vettori dati dalle colonne di  A , e quindi  \mathbf b è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di  A contiene  \mathbf b , cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di  A è uguale allo spazio generato dalle colonne di  (A|\mathbf b) . In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.

Se esiste una soluzione  \mathbf x_0 , ogni altra soluzione si scrive come  \mathbf x_0 + \mathbf v , dove  \mathbf v è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:[6]

A \mathbf v=0

Infatti:

 A(\mathbf x_0 + \mathbf v) = A \mathbf x_0 +A \mathbf v = \mathbf b + \mathbf 0 = \mathbf b \

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore \mathbf x_0 , è quindi il sottospazio affine dato da:

\operatorname{Sol}(A|\mathbf b) = \mathbf x_0 + \operatorname{Sol}(A|\mathbf 0)

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.[7] Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice  A è  n . Altrimenti se il campo  K è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di  K^t , avente come dimensione la nullitá  t = n - rk( A ) della matrice.

Strumenti per la risoluzione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sistema di equazioni.

Esistono diversi metodi per risolvere un sistema di equazioni, che accomunano sia sistemi lineari che sistemi non lineari. Nello specifico dei sistemi lineari, tra i metodi risolutivi vi sono l'algoritmo di Gauss, la regola di Cramer ed il metodo di riduzione.

Se la matrice  A è quadrata e invertibile, inoltre, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:

 A^{-1}\cdot \mathbf {b}

dove  A^{-1} è l'inversa di  A . Si deve tenere presente che il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale.

Il metodo di riduzione[modifica | modifica sorgente]

Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari, ed il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti ed il vettore \mathbf x delle soluzioni, ovvero:

\begin{cases}A\mathbf {x}=\mathbf {c} \\ B\mathbf {x}=\mathbf {d}\end{cases}

allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione:

m \cdot A\mathbf {x} + n \cdot B\mathbf {x}=m \cdot \mathbf {c} + n \cdot \mathbf {d}

dove  m e  n sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.

Questo metodo è consigliato quando permette di trasformare il sistema dato in un altro più semplice, in cui almeno una delle equazioni ha perso la dipendenza da qualche incognita.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b S. Lang, op. cit., Pag. 61
  2. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 3
  3. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 4
  4. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 6
  5. ^ a b S. Lang, op. cit., Pag. 176
  6. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 177
  7. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 178

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 0-13-536821-9.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992. ISBN 88-7545-717-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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