Principio di sovrapposizione

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In matematica e in fisica il principio di sovrapposizione riguarda una proprietà di certe trasformazioni o modelli, sulla base della quale la risposta prodotta dalla combinazione lineare di un certo numero di sollecitazioni indipendenti (per la precisione linearmente indipendenti, ossia tali per cui nessuna dipende linearmente dalle altre) può ottenersi sovrapponendo le risposte che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola (quando cioè le altre sono nulle), nello stesso identico modo con cui sono combinati gli ingressi. In simboli, questo significa che

 H(\alpha_1 \mathbf{x_1} + \alpha_2 \mathbf{x_2} + ... + \alpha_n \mathbf{x_n}) = \alpha_1 H(\mathbf{x_1})  + \alpha_2 H(\mathbf{x_2}) + ... + \alpha_n H(\mathbf{x_n})

dove H è l'operatore caratteristico del sistema in esame. Nella terminologia algebrica, una trasformazione di questo tipo è detta lineare.

Non è valido nei sistemi complessi o complicati (non lineari) nei quali gli effetti dipendono dall'ordine in cui si manifestano le cause, per l'esistenza di fenomeni di correlazione.

In certe situazioni è conveniente far uso di un'altra formulazione, più debole, di questo principio

Un sistema retto da un'equazione implicita di tipo omogeneo (cioè del tipo H(x) = 0) verifica il principio di sovrapposizione quando una qualsivoglia sovrapposizione di soluzioni indipendenti è ancora una soluzione

Vantaggi[modifica | modifica sorgente]

Il vantaggio di poter applicare il principio di sovrapposizione sta nell'essere in grado di risolvere un problema "a pezzi": se si è in grado di scomporre i dati di input del nostro modello in più componenti distinte e tra loro linearmente indipendenti (ad esempio in un moto a due dimensioni possono essere la componente verticale e la componente orizzontale, o in un'equazione differenziale due addendi che formano il termine noto indipendente dalla funzione incognita), allora è possibile risolvere il problema per ciascuna di queste componenti considerata singolarmente, trovare ogni relativa soluzione parziale e poi ricomporre ognuna di queste, sommandola secondo la stessa proporzione in cui erano sommati i dati, per trovare la soluzione finale.

L'universalità del principio, combinata con l'elevata capacità di un modello lineare di approssimare, in prima battuta, moltissimi fenomeni fisici e chimici, permette di semplificare i calcoli in molti campi.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Matematica[modifica | modifica sorgente]

Il principio si applica ogni qualvolta sia coinvolta una generica trasformazione lineare, come possono essere i sistemi di equazioni lineari e le equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali.

Nel primo caso, in presenza di un sistema

Ax=b

dove A è una matrice e b è un vettore. Allora il principio afferma che se y e y0 sono soluzioni dei sistemi con termini noti b e b0, allora y + y0 risolve il sistema

A x = b + b_0.

Un esempio classico di applicazione del sistema in una equazione differenziale è nella risoluzione dell'equazione del calore u_{tt}-\Delta u =0 tramite il cosiddetto metodo di Fourier o della separazione delle variabili, che fa uso del concetto di autovalore e autofunzione di un operatore differenziale ellittico e della sua decomposizione spettrale: imponendo che la soluzione sia della forma u(t,x)=f(t)g(x) (con f(t) e  g(x) tra loro indipendenti) si giunge alla risoluzione del sistema


\left\{
\begin{matrix} \Delta g = -\lambda_k g\\
f'=\lambda_k f\end{matrix}
\right.

che ha come soluzioni g_k(x) e f_k(t)=f_k(0)e^{-\lambda_k t}, dove g_k è un'autofunzione del laplaciano. Siccome è noto che, sotto certe ipotesi sui dati, l'insieme delle autofunzioni costituisce una base dello spazio funzionale ambiente, si ricostruisce infine la soluzione dell'equazione di partenza come

u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(t,x)=\sum_{k=1}^\infty g_k(x)f_k(t)

Fisica[modifica | modifica sorgente]

Le scie che le anatre producono sulla superficie dello stagno si compongono secondo il principio di sovrapposizione

I fenomeni di interferenza tra onde rispettano il principio di sovrapposizione.

In cinematica, un famoso enunciato di Galileo Galilei rappresenta il principio di sovrapposizione per moti sovrapposti.

Nell'elettromagnetismo, le equazioni di Maxwell rappresentano un legame lineare tra carica e campi magnetici e quindi vi si può applicare il principio quando si deve descrivere l'interazione di più cariche.

In meccanica quantistica, il principio è applicato all'equazione di Schrödinger e porta a risultati molto profondi. Per approfondire, vedi principio di sovrapposizione (meccanica quantistica).

Ingegneria[modifica | modifica sorgente]

In teoria dei segnali, la sovrapposizione si serve dello strumento dell'analisi di Fourier per la scomposizione e lo studio dei segnali elettrici.

Nell'ingegneria meccanica, l'uso della sovrapposizione è utile nell'identificare la distribuzione dei pesi lungo una struttura, per evitare cedimenti.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]