Equazioni di Maxwell

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Le equazioni di Maxwell sono un sistema di quattro equazioni differenziali fondamentali nello studio dei fenomeni elettromagnetici: governano infatti l'evoluzione spaziale e temporale dei campi elettrici e magnetici.

Queste equazioni (che appaiono per la prima volta al completo in forma differenziale in "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1873) formano una sintesi della legge di Gauss e della legge di Ampere e, di fatto, unificano il concetto di campo elettrico e di campo magnetico all'interno del più ampio concetto di campo elettromagnetico.

La notazione moderna più comune di queste equazioni fu sviluppata da Oliver Heaviside.

Le equazioni di Maxwell in qualsiasi caso descrivono solo onde trasversali, per le quali le grandezze del campo oscillano perpendicolarmente alla direzione della propagazione. La descrizione del campo non può applicarsi alle onde scalari o longitudinali.

Indice

[modifica] Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

[modifica] Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

[modifica] Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

[modifica] Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[modifica] Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

[modifica] Prossimo passo

Con le equazioni di Maxwell la forza elettrica e quella magnetica sono state unificate ottenendo la forza elettromagnetica. Attualmente anche la forza nucleare debole viene unificata con questa, ottenendo la forza elettrodebole, mentre sono ancora in corso le ricerche per ottenere una spiegazione comune a tutte le quattro interazioni fondamentali (teoria della grande unificazione), quindi un sistema per unire anche la forza nucleare forte e soprattutto la forza gravitazionale.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

  • Maxwell, James Clerk, "A Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon Press, Oxford, 1873
  • Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
  • Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
  • Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light. Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6. See Chapter 8, and especially pp.255-259 for coefficients of potential.

[modifica] Collegamenti esterni

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell"
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