Equazioni di Maxwell

In fisica, in particolare in elettrodinamica classica, le equazioni di Maxwell sono un sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali lineari in quattro variabili che descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica. Esse costituiscono l'anello di congiunzione tra la distribuzione di carica del campo e la sua dinamica.

La conoscenza dei campi è infatti sufficiente alla determinazione dinamica del sistema in assenza di forze di altra tipologia attraverso la legge di Lorentz:

$\mathbf F = q(\mathbf E + \mu \mathbf v \times \mathbf H)$

dove il vettore v è la velocità con cui si muove la carica q nel sistema di riferimento considerato.
Ciascuna delle due coppie delle equazioni è a sua volta sufficiente alla determinazione del proprio campo a partire dalla distribuzione di cariche e correnti, secondo il teorema di Helmholtz. Non sono tuttavia nel loro insieme necessarie in senso stretto, poiché le otto equazioni scalari possono infatti essere ridotte a sette introducendo l'equazione di continuità:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf {J} = 0$

Il teorema di Gauss per il campo elettrico e quello per il campo magnetico sono infatti ricavabili applicando l'operatore divergenza alle restanti due equazioni. Insieme al teorema di dualità, questo legame porta alla unificazione costituita dal tensore elettromagnetico.

Cenni storici

Le equazioni appaiono per la prima volta al completo ed in forma differenziale nel testo "A Treatise on Electricity and Magnetism", pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1873, mentre la notazione moderna più comune fu sviluppata da Oliver Heaviside.

La formulazione delle equazioni di Maxwell ha definito in modo completo il legame tra campo elettrico E e campo magnetico H: nelle condizioni stazionarie che storicamente furono e spesso anche didatticamente sono affrontate per prime appaiono come campi diversi; già Faraday osservò un'influenza magnetica sul campo elettrico; con l'ultima aggiunta di Maxwell dell'influenza elettrica nel campo magnetico attraverso l'introduzione della corrente di spostamento si arriva ad un'influenza reciproca e in questa nuova sintesi i due enti vengono finalmente considerati a tutti gli effetti manifestazioni diverse di un unico campo. Esse costituiscono perciò il primo nucleo della unificazione delle interazioni fondamentali in fisica, unificando definitivamente elettricità e magnetismo e fornendo allo stesso tempo una sintesi teorica di tutti i fenomeni sperimentali connessi a tali ambiti.

La loro importanza non si esaurisce però sul piano storico nel loro carattere sintetico: esse hanno anche un carattere predittivo che aprì alla previsione e alla successiva rilevazione sperimentale dell'esistenza delle onde elettromagnetiche, prima di allora sconosciute, del cui studio sarà pioniere Righi e che porteranno alla loro scoperta da parte di Hertz e Marconi. In terzo luogo si può affermare che possiedano anche un carattere definitivamente svalutativo di alcuni vecchi strumenti matematici tipici dell'approccio iniziale non invarianti: primo tra tutti la linea di campo, la cui configurazione nell'universo in esame non è comune a tutti i sistemi di riferimento inerziale, che vedono distribuirsi lo stesso effetto sulle stesse cause elettriche o magnetiche ma in rapporto differente a seconda della loro velocità relativa. E concludendo alla prima e finora più radicale rivoluzione della metrica della storia della scienza, che aprirà ad Einstein l'unificazione dello spazio-tempo e la nuova teoria della gravitazione che si ritiene debba venire soddisfatta da tutte le interazioni del mondo fisico.

La sintesi ulteriore delle equazioni ha inizialmente costituito motivo di ricerca: in primis l'introduzione del tensore elettromagnetico, mentre quella del potenziale vettore e l'applicazione relativistica ad esso della notazione quadrivettoriale è sicuramente divenuta la più utilizzata con la nascita della elettrodinamica quantistica e infine con la teoria quantistica dei campi, che danno maggior significato fisico al concetto di quadripotenziale che a quello di campo tensoriale, tanto che modernamente ci si ferma ad essi per determinare la dinamica del sistema

Le equazioni

Nel sistema di unità di misura internazionale la forma delle equazioni di Maxwell è la seguente:

Nome	Forma locale	Forma globale
Legge di Gauss elettrica	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\iint_S \mathbf D\;\cdot\mathrm{d}\mathbf S = \iiint_V \rho~\operatorname{d}V$
Legge di Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = 0$	$\oint_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = - \frac {\partial \Phi_{B,S}}{\partial t}$
Legge di Gauss magnetica	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\iint_S \mathbf B\;\cdot\mathrm{d}\mathbf S = 0$
Legge di Ampère-Maxwell	$\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf{J}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{S} + \frac {\partial \Phi_{D,S}}{\partial t}$

Se i campi si propagano nel vuoto la prima e la quarta equazione assumono la forma:

Nome	Forma locale	Forma globale
Teorema del flusso per il campo elettrico	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$	$\iint_S \mathbf{E}\;\cdot\mathrm{d}\mathbf S = \frac {1}{\varepsilon_0} \iiint_V \rho~\operatorname{d}V$
Legge di Ampère-Maxwell	$\nabla \times \mathbf{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} = \mu_0\mathbf{J}$	$\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\varepsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \;\cdot\mathrm{d}\mathbf S$

Dove $\mathbf E$ è il campo elettrico, $\mathbf D$ l'induzione elettrica, $\mathbf B$ il campo magnetico e $\mathbf H$ il campo magnetico nei materiali, ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε₀ e μ₀ sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c² = ε₀ μ₀, dove c è la velocità della luce.
La formulazione delle equazioni di Maxwell data in precedenza è la più generale, e si sono usati l'induzione elettrica $\mathbf D$ e il campo magnetico $\mathbf H$ definiti indipendentemente dal mezzo in cui si trovano.
Tali campi sono infatti dati da:

$\quad\mathbf D = \varepsilon_0 \mathbf E + \mathbf P$

$\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)$

e tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia, poiché i vettori polarizzazione elettrica $\mathbf P$ e magnetica $\mathbf M$ rappresentano il valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume. Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, dunque, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi.
Nel caso più semplice di mezzi lineari, stazionari, omogenei, non dispersivi e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra i campi divengono:

$\mathbf D = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf E = \varepsilon \mathbf E$

$\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H = \mu \mathbf H$

dove le costanti ε_r e μ_r sono la costante dielettrica e la permeabilità magnetica relative caratteristiche del mezzo.

Derivazione

Le equazioni di Maxwell rappresentano la forma locale delle leggi fisiche che governano i fenomeni di propagazione del campo elettromagnetico. Nel seguito si descrive tale relazione.

Forma locale e globale

Per approfondire, vedi le voci Teorema della divergenza e Teorema del rotore.

Matematicamente le equazioni in forma locale sono differenziali lineari in quattro variabili, mentre in forma globale sono integrali: per metterle in relazione è necessario perciò applicare il teorema di Stokes nelle sue forme bidimensionale e tridimensionale. Nel caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel tempo, le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza, ovvero nel dominio dei fasori, semplicemente applicando la trasformata di Fourier a ciascun membro ed ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro specifico utilizzo.
Gli strumenti matematici principali che permettono di ricavare il legame tra la forma locale e la forma globale sono due:

• Il teorema della divergenza nel caso tridimensionale, che influisce sulla forma della Legge di Gauss per entrambi i campi. Il teorema afferma che il flusso di un campo attraverso una superficie chiusa è pari all'integrale su un volume di cui è la frontiera (unico nello spazio tridimensionale) della divergenza del campo stesso:

$\iiint_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} dv = \oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$

• Il teorema del rotore nel caso bidimensionale, che influisce sulla forma della Legge di Faraday-Neumann-Lenz e della Legge di Ampère-Maxwell. Il teorema che la circuitazione di un campo è pari all'integrale su una superficie che essa racchiude (molteplici nello spazio tridimensionale) del rotore del campo stesso:

$\iint_{S} (\nabla \times \mathbf F) \cdot \operatorname{d}\mathbf s = \oint_C \mathbf F \cdot \operatorname{d} \mathbf r$.

Derivazione formale

Per approfondire, vedi le voci Teorema del flusso, Legge di Faraday e Legge di Ampère.

Le equazioni di Maxwell descrivono sinteticamente tutte le proprietà del campo elettromagnetico, e per ricavarne la forma integrale dalla corrispondente forma locale è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza. Nel caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel tempo, le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza, ovvero nel dominio dei fasori, semplicemente applicando la trasformata di Fourier a ciascun membro ed ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro specifico utilizzo.

• Il Teorema del flusso, detta anche Legge di Gauss, afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è pari alla somma delle cariche contenute nella superficie divise per la permittività elettrica:

$\Phi_{\Sigma} (\mathbf E)= \int_S \mathbf E \mbox {d}\mathbf S = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}=\frac{\sum_k q_k}{\epsilon_0}$

Dal teorema della divergenza si ha:

$\int_S \mathbf{E} \mbox {d}\mathbf{S} = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} \mbox {d}V = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0}\mbox {d}V$

ed uguagliando gli integrandi nell'ultima relazione si ottiene la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico.

• La legge di Faraday-Neumann-Lenz afferma che la variazione nel tempo del flusso del campo magnetico concatenato ad un circuito genera una forza elettromotrice nel circuito stesso, la quale si oppone alla variazione del flusso:

$\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatorname{d}l = -{d \over dt}\int_S \mathbf B \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S$

applicando il teorema di Stokes al primo membro:

$\oint_C \mathbf{E} \cdot \operatorname{d}l = \int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \mbox {d}\mathbf S$

e quindi:

$\int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S$

Uguagliando gli integrandi segue la relazione locale.

• L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J \$

Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità per la corrente elettrica. Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:

$\nabla \cdot \mathbf J + \frac {\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)$

Il termine

$\mathbf {J}_s = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf {E}}{\partial t}$

è detto corrente di spostamento, e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario. Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:

$\mathbf { \nabla \times B} = \mu_0 \left(\mathbf J +\varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}\right)$

si ottiene la relazione locale. Tale equazione è perfettamente simmetrica rispetto alla precedente equazione, e le due relazioni rappresentano complessivamente il nucleo delle equazioni di Maxwell in quanto da esse è ricavabile l'equazione delle onde, mostrando quindi che il campo elettromagnetico si propaga sotto forma di onde elettromagnetiche.

• Il teorema del flusso per il campo magnetico afferma infine che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo. Ciò si può spiegare dal fatto che le linee di forza del campo magnetico sono chiuse, e pertanto il contributo al flusso di ogni linea entrante alla superficie è annullato dal contributo della stessa linea uscente. Matematicamente la relazione si ricava applicando l'operatore divergenza ad entrambi i membri della legge di Biot-Savart.

Soluzioni

Per approfondire, vedi le voci Potenziale vettore e Potenziale scalare.

Ponendo che i campi si propaghino nel vuoto, la terza equazione di Maxwell stabilisce che la divergenza di B è nulla, e poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla il campo magnetico può essere espresso come il rotore di un campo vettoriale A, il potenziale vettore:

$\mathbf B = \nabla \times \mathbf A$

Tale relazione è valida ponendo di trovarsi in un dominio semplicemente connesso.
Possiamo allora riscrivere la terza equazione di Maxwell come:

$\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A$

che può anche essere espressa come:

$\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0$

Poiché il termine tra parentesi è irrotazionale, esso può essere scritto come il gradiente di una funzione scalare, il potenziale scalare $\phi \,\!$:

$\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi$

da cui segue:

$\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}$

La soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto è quindi la seguente:

$\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}$

Nel caso i campi si propaghino in un mezzo, le quattro equazioni non omogenee possono essere risolte solo conoscendo le relazioni costitutive tra i campi nel vuoto e nella materia, che non sono sempre lineari e dipendono fortemente dalle caratteristiche del materiale.
Tutte le informazioni sul campo elettromagnetico possono quindi essere date attraverso l'espressione dei potenziali generalizzati, che sono definiti con quattro equazioni scalari, di cui tre per il potenziale vettore ed una per il potenziale scalare. Il fatto che le equazioni di Maxwell siano invece sei equazioni scalari è dovuto al fatto che esse contengono delle proprietà ulteriori: il campo elettromagnetico è infatti esprimibile attraverso i potenziali solo se soddisfa le equazioni di Maxwell.

Espressione dei potenziali generalizzati

Per approfondire, vedi la voce Potenziali ritardati.

Per ricavare le quattro equazioni scalari che definiscono i potenziali generalizzati si procede come segue:

• La prima equazione di Maxwell può essere riscritta come:

$\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}$

ovvero:

$\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}$

• La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

$c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})$

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇²C:

$\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}$

Tali equazioni sono dette equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate, e possono essere trasformate in equazioni disaccoppiate grazie al margine di arbitrarietà contenuto nella definizione dei potenziali. Infatti, sfruttando il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo ed eseguendo la seguente trasformazione:

$\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}$

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Questa operazione è detta trasformazione di gauge.
Sfruttando l'invarianza di gauge è possibile scegliere A in modo che soddisfi determinate condizioni. In elettrodinamica è frequente la scelta della condizione di Lorenz, la quale è ottenuta scegliendo opportunamente Ψ in modo tale che:

$\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}$

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz, che nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo, si riduce al gauge di Coulomb, anche detto "gauge trasversale".
Se la condizione di Lorenz è soddisfatta le equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate diventano due equazioni disaccoppiate, corrispondenti a quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite:

$\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}$

$\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J$

Tali espressioni descrivono onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.
Le componenti sono:

$\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}$

Si dimostra inoltre che, dato un particolare problema elettromagnetico perfettamente definito nelle sue condizioni iniziali e condizioni al contorno, la soluzione delle equazioni di Maxwell è unica.
Più precisamente, la soluzione delle equazioni d'onda sono i potenziali ritardati, che nel gauge di Lorenz assumono la forma:

$\psi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} d^3 x_0$

$\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0 c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } d^3 x_0$

dove $|\mathbf x - \mathbf x_0|$ è la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume d³x₀ su cui si effettua l'integrazione, e

$t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c}$

è il tempo ritardato.

Forma tensoriale relativistica

Per approfondire, vedi la voce Tensore.

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore J^μ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

$J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}$

dove ρ₀ è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e U^μ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

$A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)$

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

$\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0$

Questo fornisce la relazione

$\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0$

Ma questa non è altro che la condizione di Lorenz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert (d'alembertiano)

$\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}$

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

$\Box A^\mu = - \mu J^\mu$

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone $F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$ si ha la rappresentazione

$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

Simmetria e teorema di dualità

Al secondo membro della terza equazione può essere introdotto con utilità puramente matematica almeno secondo la scienza normale odierna, un termine di sorgente di densità di corrente magnetica J_m in modo da simmetrizzarla con la quarta equazione, e nella seconda equazione un termine di densità di carica magnetica ρ_m in modo da simmetrizzarla con la prima. Sebbene non siano state sinora osservate sperimentalmente cariche e/o correnti magnetiche l'utilità di tale modifica consiste infatti nella possibilità di poter modellare, attraverso le grandezze fittizie, grandezze reali (ad esempio comprendendo come mai una spira percorsa da corrente possa essere una rappresentazione fisica di un dipolo magnetico).

Nome	Forma locale	Forma globale
Teorema di Gauss per il campo elettrico	$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$	$\iint_S \mathbf D\;\cdot\mathrm{d}\mathbf S = \iiint_V \rho~\operatorname{d}V$
Teorema del flusso per il campo magnetico	$\nabla \cdot \mathbf{B} = \rho_m$	$\iint_S \mathbf B\;\cdot\mathrm{d}\mathbf S = \iiint_V \rho_m~\operatorname{d}V$
Legge di Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = - \mathbf{J_m} - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint_l \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = - I_{m} - \frac {\partial \Phi_{B,S}}{\partial t}$
Legge di Ampère	$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$	$\oint_l \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{S} + \frac {\partial \Phi_{D,S}}{\partial t}$

Questo permette di enunciare il cosiddetto teorema di dualità elettromagnetico, per il quale a partire dall'espressione di una grandezza elettrica o magnetica, è possibile ottenere l'espressione dell'altra corrispondente: le sostituzioni da operare sono le seguenti

$\begin{matrix} \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{H} &\quad \mathbf{D} \rightarrow \mathbf{B} &\quad \mathbf{J} \rightarrow \mathbf{J_m} &\quad \rho \rightarrow \rho_m \\ \mathbf{H} \rightarrow -\mathbf{E} &\quad \mathbf{B} \rightarrow -\mathbf{D} &\quad \mathbf{J_m} \rightarrow -\mathbf{J} &\quad \rho_m \rightarrow -\rho \\ \qquad &\quad \epsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \epsilon & \qquad \end{matrix}$

Bibliografia

• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X
• (EN) Maxwell, James Clerk, "A Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon Press, Oxford, 1873
• (EN) Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
• (EN) Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
• (EN) Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light. Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6. See Chapter 8, and especially pp. 255–259 for coefficients of potential.
• G. Gerosa; P. Lampariello, Lezioni di Campi Elettromagnetici, Seconda edizione, Roma, Ingegneria 2000, 2006. ISBN 9788886658362

Collegamenti esterni

• Le equazioni di Maxwell
• (EN) A tensor treatment of Maxwell's equations
• (EN) Lecture series: Relativity and electromagnetism

Voci correlate

• Calcolo vettoriale
• Divergenza
• Elettromagnetismo
• Equazioni di Jefimenko
• Fasci Gaussiani
• Forza di Lorentz
• Magnetismo nella materia
• Onde piane
• Operatore Nabla
• Quadrivettore
• Rotore
• Termine di sorgente

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