Equazioni di Maxwell

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bussola Disambiguazione – Se stai cercando le equazioni di J.C. Maxwell della termodinamica, vedi Relazioni di Maxwell.

In elettrodinamica classica, le equazioni di Maxwell, il cui nome è dovuto a James Clerk Maxwell, sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali lineari e accoppiate che, insieme alla legge della forza di Lorentz, descrivono l'interazione elettromagnetica.[1] Esse esprimono l'evoluzione temporale e i vincoli a cui è soggetto il campo elettromagnetico in relazione alle distribuzioni di carica e corrente elettrica da cui è generato.

Le equazioni di Maxwell raggruppano ed estendono le leggi dell'elettromagnetismo note fino alla metà del XIX secolo, tra cui la legge di Gauss per il campo elettrico e la legge di Faraday. Maxwell, aggiungendo la corrente di spostamento alla legge di Ampère, rese simmetriche le equazioni che descrivono in modo classico (ovvero non relativistico) il campo elettrico ed il campo magnetico, mostrando come essi siano due manifestazioni di una stessa entità, il campo elettromagnetico. Con questo risultato si evidenzia come i campi elettrici dinamici, cioè variabili nel tempo, sono in grado di generare campi magnetici e viceversa. Lo stesso Maxwell osservò che le equazioni simmetriche ammettono soluzioni ondulatorie, il che consentì la scoperta delle onde elettromagnetiche, come ad es. le onde radio, e la vera natura della luce, fino ad allora oggetto di varie speculazioni teoriche.

In particolare la luce fu descritta come un'onda elettromagnetica caratterizzata solamente da un particolare intervallo di frequenze; le leggi dell'ottica poterono quindi essere derivate delle leggi dell'elettromagnetismo. I campi elettromagnetici stessi, introdotti inizialmente come entità matematica, acquistarono una loro propria realtà fisica potendo esistere indipendentemente dalle sorgenti che li hanno generati. L'interazione a distanza fra cariche elettriche di tipo coulombiano fu rimpiazzata perciò da una interazione locale punto a punto fra campi elettromagnetici e cariche elettriche. Più in generale, anche nello studio dell'elettromagnetismo, la nozione di campo sostituiva le forze simultanee agenti a distanza della meccanica classica di Newton, modello a cui era riconducibile la Legge di Coulomb.

Introduzione[modifica | modifica sorgente]

Le equazioni di Maxwell descrivono il modo in cui il campo elettrico ed il campo magnetico interagiscono fra di loro e con oggetti che possiedono carica elettrica. Unite alle seconda legge del moto di Newton ed alla forza di Lorentz:[2]

\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

dove q è una carica elettrica puntiforme in moto con velocità istantanea \mathbf v in presenza di un campo elettrico \mathbf E e di un campo magnetico \mathbf B, le equazioni di Maxwell caratterizzano completamente i fenomeni elettromagnetici classici, cioè l'evoluzione dinamica dei campi e la sua genesi a partire da arbitrarie distribuzioni di carica.

Solitamente le equazioni vengono enunciate in forma locale, utilizzando la densità di carica e la densità di corrente per la descrizione delle sorgenti del campo. Tramite gli operatori differenziali divergenza e rotore la propagazione del campo viene mostrata in funzione dello spazio \mathbf x e del tempo t.

Nel formalismo di Heaviside e Lorentz le relazioni di Maxwell sono scritte come un sistema di quattro equazioni, di cui due vettoriali e due scalari: esse pongono pertanto otto vincoli, e le incognite che in esse compaiono sono quattro funzioni vettoriali \mathbf {E}, \mathbf{D}, \mathbf {B} e  \mathbf{H} , dove \mathbf{D} e  \mathbf{H} sono rispettivamente il campo elettrico e magnetico quando si propagano nei materiali. Si tratta di dodici funzioni scalari della posizione e del tempo che rappresentano rispettivamente il campo elettrico nel vuoto, il campo elettrico nei materiali, il campo magnetico nel vuoto ed il campo magnetico nei materiali.

Le seguenti due equazioni omogenee valgono sia nel vuoto che nei mezzi materiali:

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} =  0

Esse rappresentano in forma differenziale, cioè valida localmente, la legge dell'induzione elettromagnetica di Lenz-Faraday-Neumann e la legge sul flusso del campo magnetico di Gauss (che descrive l'inesistenza di cariche magnetiche isolate, o monopoli magnetici).

Le seguenti due equazioni descrivono il modo in cui la materia interagisce con i campi elettrici e magnetici, polarizzandosi:

\nabla \cdot \mathbf{D}  = \rho \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf J + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}\

dove il vettore \mathbf v è la velocità di deriva delle cariche in moto che costituiscono la densità di corrente \mathbf J = \rho \mathbf v sorgente del campo.

Le equazioni di Maxwell nei mezzi materiali non costituiscono un problema ben posto in senso stretto, in quanto il numero di equazioni è minore del numero di incognite, ed inoltre non tutte le otto equazioni sono indipendenti, in virtù di proprietà generali dei campi vettoriali. A partire da esse si ricavano il teorema di Gauss relativo al flusso del campo magnetico, che sancisce l'inesistenza di monopoli magnetici isolati, e la conservazione della carica elettrica, data dall'equazione di continuità:[3]

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf J = 0

Il teorema di Gauss per il campo elettrico e quello per il campo magnetico sono infatti ricavabili applicando l'operatore divergenza alle due equazioni omogenee.

Vi sono quindi due vincoli scalari che riducono a sei il numero delle equazioni indipendenti: si tratta pertanto di diminuire il numero delle incognite introducendo altre relazioni, dette equazioni costitutive dei mezzi materiali. Le equazioni costitutive sono relazioni della forma:

 \mathbf {D} = \mathbf {D(\mathbf {E},\mathbf {B})} \qquad \mathbf {H} = \mathbf {H(\mathbf {E},\mathbf {B})}

perché devono esprimere come la materia reagisce, polarizzandosi, in relazione all'azione su di essa dei campi \mathbf {E} e \mathbf {B} . Se le funzioni  \mathbf {D} e \mathbf {H} sono regolari allora possono pensarsi sviluppate in serie di Taylor nelle variabili  \mathbf {E} e \mathbf {B} , e se questi ultimi sono sufficientemente deboli si può inoltre assumere che la materia risponda in maniera lineare, cioè direttamente proporzionale ai campi. In altri termini, si può pensare di arrestare al primo ordine differenziale lo sviluppo analitico e scrivere:

 \mathbf {D} = \varepsilon \mathbf {E} \qquad \mathbf {B} = \mu \mathbf {H}

Cenni storici[modifica | modifica sorgente]

Le equazioni appaiono per la prima volta al completo ed in forma differenziale nel testo "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", pubblicato da James Clerk Maxwell nel 1865, mentre la notazione moderna più comune fu sviluppata da Oliver Heaviside.

La formulazione delle equazioni di Maxwell ha definito in modo completo il legame tra campo elettrico e campo magnetico, unificando definitivamente elettricità e magnetismo e fornendo allo stesso tempo una sintesi teorica di tutti i fenomeni sperimentali connessi a tali ambiti. Già Faraday aveva osservato un'influenza magnetica sul campo elettrico: con l'ultima aggiunta di Maxwell alle equazioni, dove avviene l'introduzione della corrente di spostamento, i due campi vengono considerati a tutti gli effetti due manifestazioni diverse di un unico campo, il campo elettromagnetico.[4]

La loro importanza non si esaurisce tuttavia sul piano storico nel loro carattere sintetico: esse hanno anche un carattere predittivo, che aprì alla previsione ed alla successiva rilevazione sperimentale dell'esistenza delle onde elettromagnetiche, prima di allora sconosciute, la cui scoperta è avvenuta da parte di Hertz. In Italia gli studi sulle onde elettromagnetiche sono stati condotti fra gli altri da Righi e hanno portato un suo allievo, Marconi, all'invenzione della telegrafia senza fili.

La descrizione relativistica del campo ha successivamente richiesto l'introduzione del tensore elettromagnetico, del quadripotenziale e l'utilizzo della notazione quadrivettoriale. Di pari passo si sono sviluppate l'elettrodinamica quantistica e la teoria quantistica dei campi, che hanno conferito un significato fisico più profondo al concetto di quadripotenziale e di campo tensoriale.[5]

Le equazioni[modifica | modifica sorgente]

Nel sistema di unità di misura internazionale, l'espressione differenziale canonica delle equazioni di Maxwell è la seguente:[1][6]

Nome Forma locale Forma globale
Legge di Gauss elettrica \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_{\partial V} \mathbf D\;\cdot\operatorname d\mathbf S - \int_V \rho~\operatorname{d}V = 0
Legge di Faraday \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \nabla \times \mathbf{E} = \mathbf 0 \frac {\partial}{\partial t} \int_S \mathbf B \;\cdot\operatorname d\mathbf S + \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \operatorname d\mathbf{l} = 0
Legge di Gauss magnetica \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_{\partial V} \mathbf B\;\cdot\operatorname d\mathbf S = 0
Legge di Ampère-Maxwell \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} - \nabla \times \mathbf{H} + \mathbf J = \mathbf 0 \frac {\partial}{\partial t} \int_S \mathbf D \;\cdot\operatorname d\mathbf S - \oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot \operatorname d\mathbf{l} + \int_S \mathbf J \;\cdot\operatorname d\mathbf S = 0

Dove: \mathbf E è il campo elettrico nel vuoto, \mathbf D = \varepsilon \mathbf E + \mathbf P è il campo elettrico nei materiali, anche detto induzione elettrica e che tiene conto della polarizzazione elettrica \mathbf P, \mathbf B è il campo magnetico nel vuoto, anche detto induzione magnetica, \mathbf H = \mathbf B / \mu_0 - \mathbf M il campo magnetico nei materiali, che tiene conto della polarizzazione magnetica \mathbf M, e \rho la densità di carica elettrica. Il prodotto \mathbf J = \rho \mathbf v di quest'ultima con la velocità è il vettore densità di corrente elettrica. I tensori \varepsilon e \mu sono rispettivamente la permittività elettrica e la permeabilità magnetica, e (se considerate costanti) sono legate dalla relazione:

{1 \over v^2} = \varepsilon \mu

dove v è la velocità della luce nel mezzo. Inoltre, V è un arbitrario volume di spazio e \partial V la superficie che lo racchiude, mentre S è una arbitraria superficie e \partial S la curva che ne fa da bordo.

Le relazioni fra i campi sono:

 \mathbf D = \varepsilon \mathbf E = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf E  \qquad \mathbf B = \mu \mathbf H = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove \varepsilon_r e \mu_r sono dette costante dielettrica relativa e permeabilità magnetica relativa, e sono caratteristiche del mezzo. Esse dipendono in generale dalla direzione nel mezzo e dalla frequenza dei campi (quest'ultima influenza in particolare la permittività elettrica).

Nel caso più semplice di mezzi lineari, stazionari, omogenei, non dispersivi e isotropi, la permittività elettrica e la permeabilità magnetica si riducono a costanti (tensori con tutti gli elementi uguali). In tal caso i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali, in ogni direzione, rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, e i gradi di libertà delle equazioni si dimezzano. Si possono inoltre portare \varepsilon e \mu fuori dagli integrali e dalle derivate.

Nel vuoto (in assenza di cariche e correnti) le equazioni si scrivono:[2]

\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} & = 0 \quad & \nabla \times \mathbf{E} = \ -&\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} & = 0 \quad & \nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} & \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}
\end{align}

Derivazione[modifica | modifica sorgente]

Le equazioni di Maxwell, che governano i fenomeni di propagazione del campo elettromagnetico, possono essere espresse sia in forma locale che globale. Nel seguito si descrive tale relazione.

Forma locale e globale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della divergenza e Teorema del rotore.

Le equazioni in forma locale sono equazioni differenziali lineari in quattro variabili, mentre in forma globale sono equazioni integrali: per metterle in relazione è necessario perciò applicare il teorema di Stokes nelle sue forme bidimensionale e tridimensionale. Nel caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel tempo, le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza utilizzando la trasformata di Fourier in ciascun membro ed ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro specifico utilizzo.

Gli strumenti matematici principali che permettono di ricavare il legame tra la forma locale e la forma globale sono due:

  • Il teorema della divergenza nel caso tridimensionale, che influisce sulla forma della legge di Gauss per entrambi i campi. Il teorema afferma che il flusso di un campo attraverso una superficie chiusa è pari all'integrale su un volume di cui è la frontiera (unico nello spazio tridimensionale) della divergenza del campo stesso:
\int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \, \operatorname dv = \oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \operatorname d\mathbf{s}
\int_{S} \nabla \times \mathbf F \cdot \operatorname{d}\mathbf s = \oint_{\partial S} \mathbf F \cdot \operatorname{d} \mathbf r

Derivazione formale[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema del flusso, Legge di Faraday e Legge di Ampère.

Le equazioni di Maxwell descrivono sinteticamente tutte le proprietà del campo elettromagnetico, e per ricavarne la forma integrale dalla corrispondente forma locale è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza. Nel caso particolare di campi variabili in maniera sinusoidale nel tempo, le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel dominio della frequenza, ovvero nel dominio dei fasori, semplicemente applicando la trasformata di Fourier a ciascun membro ed ottenendo una semplificazione nella trattazione e nel loro specifico utilizzo.

\Phi_{\partial V} (\mathbf E)= \oint_{\partial V} \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf s = \frac{Q}{\varepsilon}=\frac{\int_V \rho \operatorname dv }{\varepsilon}
Dal teorema della divergenza si ha, in un materiale con permittività elettrica uniforme:
\oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot \operatorname d\mathbf s = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}\operatorname dv = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon} \operatorname dv
ed uguagliando gli integrandi nell'ultima relazione si ottiene la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico.[7]
\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \operatorname d \mathbf r = -{\operatorname d \over \operatorname dt}\int_S \mathbf B\operatorname d\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\operatorname d\mathbf s
applicando il teorema di Kelvin al primo membro:
\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \operatorname d \mathbf r = \int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot \operatorname d\mathbf s
e quindi:
\int_S \nabla \times \mathbf{E} \cdot \, \operatorname d \mathbf s = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\operatorname d\mathbf s
Uguagliando gli integrandi segue la relazione locale.
  • L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario, qui espresso nella velocità di deriva:
 \nabla \times \mathbf B = \mu \mathbf J
Tale relazione vale solamente nel caso stazionario, dal momento che la divergenza della densità di corrente deve essere nulla (poiché è nullo \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf B)): nel caso non stazionario si contraddirebbe infatti l'equazione di continuità per la corrente elettrica.[9] Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:
 \nabla \cdot \mathbf J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)
ottenendo al secondo membro un vettore la cui divergenza si annulla nel caso stazionario, e che può essere così inserito nella legge di Ampère. Il secondo termine è detto densità di corrente di spostamento, esprimibile come prodotto di un tensore densità di spostamento per la velocità:
 \rho_{D ij}= \frac {\varepsilon_i}{u_j} \frac{\partial  \mathbf {E_i}}{\partial t}
e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.[10] Inserendo la densità di carica generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:[11][12]
 \nabla \times \mathbf B = \mu \mathbf u  \left(\rho + \rho_D \right)
si ottiene la relazione locale.[13] Tale equazione è perfettamente simmetrica rispetto alla precedente equazione, e le due relazioni rappresentano complessivamente il nucleo delle equazioni di Maxwell in quanto da esse è ricavabile l'equazione delle onde, mostrando quindi che il campo elettromagnetico si propaga sotto forma di onde elettromagnetiche.
  • Il teorema del flusso per il campo magnetico afferma infine che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo. Ciò si può spiegare dal fatto che le linee di forza del campo magnetico sono chiuse, e pertanto il contributo al flusso di ogni linea entrante alla superficie è annullato dal contributo della stessa linea uscente. Matematicamente la relazione si ricava applicando l'operatore divergenza ad entrambi i membri della legge di Biot-Savart.

Soluzioni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Potenziale vettore e Potenziale scalare.

L'equazione di Maxwell che stabilisce che la divergenza di \mathbf B è nulla permette di riscrivere il campo magnetico derivandolo da una funzione potenziale, ossia come il rotore di un campo vettoriale \mathbf A detto potenziale vettore:[14]

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Tale relazione è valida ponendo di trovarsi in un dominio semplicemente connesso. Si può allora riscrivere la legge dell'induzione elettromagnetica di Faraday Neumann:

 \nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come:

 \nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il termine tra parentesi è irrotazionale, esso può essere scritto come il gradiente di una funzione scalare, il potenziale scalare \phi :[15]

 \mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue:

 \mathbf E  = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

I campi  \mathbf E e \mathbf B soluzioni delle equazioni di Maxwell si possono dunque esprimere mediante i potenziali:[16]

\mathbf B = \nabla\times\mathbf A \qquad \mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A

Le equazioni di evoluzione dei potenziali si ottengono semplicemente sostituendo i campi  \mathbf E e \mathbf B nelle altre due equazioni, ossia nelle equazioni non omogenee che rappresentano la legge del flusso del campo elettrico e la legge di Ampere.

Nel caso i campi si propaghino in un mezzo diverso dal vuoto le quattro equazioni scalari non omogenee possono essere risolte solo conoscendo le relazioni costitutive tra i campi nel vuoto e nella materia, che non sono sempre lineari e dipendono fortemente dalle caratteristiche del materiale.[17] Tutte le informazioni sul campo elettromagnetico possono quindi essere date attraverso l'espressione dei potenziali generalizzati, che sono definiti con quattro equazioni scalari, di cui tre per il potenziale vettore ed una per il potenziale scalare.

Equazioni per i potenziali[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Potenziali ritardati e Gauge di Lorenz.

Le equazioni di Maxwell possono essere espresse in termini dei potenziali del campo elettromagnetico. Tale formulazione introduce tuttavia una certa arbitrarietà nella forma dell'espressione dei potenziali: l'espressione dei campi rimane infatti invariata se i potenziali subiscono una certa gamma di trasformazioni, dette trasformazioni di gauge. Per ottenere una formulazione relativistica, cioè invariante sotto trasformazione di Lorentz, si utilizza il gauge di Lorenz.

Per ricavare le quattro equazioni scalari che definiscono i potenziali generalizzati si procede come segue:

  • L'equazione del flusso del campo elettrico può essere riscritta come:
\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\varepsilon}
ovvero:
\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho}{\varepsilon}
  • L'equazione di Maxwell che esprime la legge di Ampere in forma generalizzata, invece, si trasforma nel seguente modo:
c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\varepsilon}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})
ossia, usando l'identità vettoriale \nabla \times ( \nabla \times \mathbf C) = \nabla ( \nabla \cdot \mathbf C) - \nabla^2 \mathbf C si ha:
\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\varepsilon}

Tali equazioni sono anche dette equazioni elettrodinamiche, ed descrivono la propagazione dei due potenziali.[18] Possono tuttavia essere convenientemente trasformate in equazioni disaccoppiate (cioè scritte separatamente per il potenziale scalare e per il potenziale vettore) grazie al margine di arbitrarietà contenuto nella definizione dei potenziali. Infatti, sfruttando il fatto che il rotore di un gradiente è nullo ed eseguendo la seguente trasformazione di gauge:

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove \Psi è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, le equazioni di evoluzione dei potenziali non variano. I nuovi potenziali soddisfano le medesime equazioni dei vecchi potenziali, ed in questo modo anche le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate.[19]

Sfruttando dunque l'invarianza di gauge è possibile scegliere \mathbf A in modo che soddisfi opportune condizioni. Di particolare importanza è la condizione di Lorenz, la quale è ottenuta scegliendo \Psi in modo tale che:

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

Tale condizione determina la forma covariante delle equazioni di Maxwell per i potenziali che descrivono il campo. Se i potenziali soddisfano la condizione di Lorenz si dice che essi appartengono al gauge di Lorenz,[20] che nel caso stazionario (cioè quando \phi non dipende dal tempo) si riduce al gauge di Coulomb, anche detto "gauge trasversale".[21]

Se la condizione di Lorenz è soddisfatta le equazioni elettrodinamiche non disaccoppiate diventano due equazioni disaccoppiate, corrispondenti a quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite:[22][23]

\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\varepsilon}
\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu \mathbf J

In componenti scalari, le equazioni dei potenziali si scrivono esplicitamente come:


\begin{cases}
\nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\varepsilon}\\
\nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu \rho v_x\\
\nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu \rho v_y\\
\nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu \rho v_z\\
\end{cases}

Si dimostra inoltre che, dato un particolare problema elettromagnetico perfettamente definito nelle sue condizioni iniziali e condizioni al contorno, la soluzione delle equazioni di Maxwell è unica. Più precisamente, la soluzione delle equazioni d'onda sono i potenziali ritardati, che nel gauge di Lorenz assumono la forma:[24]

 \psi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} \operatorname d^3 x_0
\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } \operatorname d^3 x_0

dove  |\mathbf x - \mathbf x_0| è la distanza del punto di osservazione del campo dall'elemento di volume d^3 x_0 su cui si effettua l'integrazione, e:

t_r=t- \frac {|\mathbf x - \mathbf x_0|}{c}

è il tempo ritardato.

Equazioni di Jefimenko[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazioni di Jefimenko.

Le equazioni di Jefimenko forniscono il campo elettrico ed il campo magnetico prodotti da una generica distribuzione di carica \rho e velocità \mathbf{v} dipendente dal tempo, e si possono derivare a partire dai potenziali ritardati \varphi ed \mathbf{A}.[25] I potenziali sono soluzione delle equazioni di Maxwell, e pertanto sostituendo la loro espressione nella definizione del potenziale elettromagnetico stesso:

- \mathbf{E} = \nabla\varphi + \dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

Utilizzando la relazione:

c^2 = \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}

si ottengono le equazioni di Jefimenko rimpiazzando \varphi ed \mathbf{A} con i campi \mathbf{E} e \mathbf{B}:[26]

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \left[ \left(\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \rho(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t}\right)(\mathbf{r}-\mathbf{r}') - \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| c^2}\frac{\partial \mathbf{\mathbf J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'
\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} + \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2 c}\frac{\partial \mathbf{\mathbf J}(\mathbf{r}', t_r)}{\partial t} \right] \times (\mathbf{r}-\mathbf{r}') \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

dove \mathbf{r}' è un punto all'interno della distribuzione di carica, \mathbf{r} è un punto nello spazio e:

t_r = t - \frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}

è il tempo ritardato. Le espressioni per i campi nella materia \mathbf{D} e \mathbf{H} hanno la stessa forma.[27]

Forma tensoriale relativistica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Tensore elettromagnetico.

I potenziali \mathbf A e V possono essere visti come le componenti di un quadrivettore. Se si forma un quadrivettore J^\mu con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell si ottiene:

 J^{\mu} = (\rho c, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf u) = \rho_0 \gamma(c,\mathbf u) = \rho_0 u^{\mu}

dove \rho_0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e u^{\mu} rappresenta la quadrivelocità.

Il quadripotenziale è definito come:

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Considerando la definizione di divergenza nello spaziotempo di Minkowski si ha, per quanto visto precedentemente:

 \nabla \cdot \mathbf A + \frac{\partial  V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione:

\frac {\partial  A_x}{\partial x} + \frac {\partial  A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

La precedente è la condizione di Lorenz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabilisce l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di \mathbf A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se si considera l'operatore di d'Alembert:

 \Box  = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma:

 \Box  A^\mu = - \mu \rho_0 u^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare \mathbf E e da uno assiale \mathbf B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ottiene il tensore elettromagnetico:

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

Forma lagrangiana[modifica | modifica sorgente]

La formulazione lagrangiana considera le equazioni in modo trasversale rispetto a quella euleriana: se si accoppiano le leggi di Gauss generale per l'induzione elettrica e di Ampère-Maxwell ad una definizione del campo magnetico, e quelle di Gauss per l'induzione magnetica e di Faraday ad una definizione del campo elettrico, si ottiene:

Nome Forma locale Forma globale
Legge di Gauss \nabla \cdot \mathbf{D} - \rho = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
Legge di Ampère-Maxwell, Legge di Faraday \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} - \nabla \times \mathbf{H} + \rho \langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0 \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \nabla \times \mathbf{E}= \mathbf 0
Definizione del campo coniugato \mathbf {H} + \langle \mathbf v \rangle \times \mathbf {D}= \mathbf 0 \nabla \times \mathbf {E} - (\nabla \cdot \langle \mathbf v \rangle)\mathbf {B}= \mathbf 0

Dalle prime due righe di equazioni rispettivamente segue che:

\frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} - \nabla \times \mathbf {H} + (\nabla \cdot \mathbf {D})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + \nabla \times \mathbf {E} + (\nabla \cdot \mathbf {B})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0

e imponendo la terza riga di equazioni:

\frac{\partial \mathbf {D}} {\partial t} + \nabla \times (\langle \mathbf v \rangle \times \mathbf {D}) + (\nabla \cdot \mathbf {D})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + (\nabla \cdot \langle \mathbf v \rangle)\mathbf {B} + (\nabla \cdot \mathbf {B})\langle \mathbf v \rangle = \mathbf 0

quindi sfruttando nella prima la proprietà del doppio prodotto vettoriale e nella seconda la regola di Leibniz otteniamo le leggi di Gauss coniugate, ciascuna un'equazione di conservazione per l'induzione:

\frac{\partial \mathbf {D}} {\partial t} + (\langle \mathbf v \rangle \cdot \nabla) \mathbf {D} = \mathbf 0 \qquad \frac{\partial \mathbf {B}} {\partial t} + (\langle \mathbf v \rangle \cdot \nabla) \mathbf {B} = \mathbf 0

esprimibile nella derivata lagrangiana:

\frac{D\mathbf {D}}{Dt} = \mathbf 0 \qquad \frac{D\mathbf {B}} {Dt} = \mathbf 0

infine riconsiderando la definizione del campo coniugato otteniamo le equazioni rispettivamente di Ampère-Maxwell coniugata e di Faraday coniugata, che stabiliscono un bilancio non conservativo per i campi:

\frac{D\mathbf {H}}{Dt} - \frac{D\langle \mathbf v \rangle}{Dt} \times \mathbf {D}= \mathbf 0 \qquad \nabla \times \frac{D\mathbf {E}}{Dt} - (\nabla \cdot \frac{D\langle \mathbf v \rangle} {Dt}) \mathbf {B}= \mathbf 0

In sintesi:

Nome Forma locale
Legge di Gauss elettrica coniugata \frac{D\mathbf {D}}{Dt} = \mathbf 0
Legge di Faraday coniugata \nabla \times \frac{D\mathbf {E}}{Dt} - (\nabla \cdot \frac{D\langle \mathbf v \rangle} {Dt}) \mathbf {B}= \mathbf 0
Legge di Gauss magnetica coniugata \frac{D\mathbf {B}}{Dt} = \mathbf 0
Legge di Ampère-Maxwell coniugata \frac{D\mathbf {H}}{Dt} - \frac{D\langle \mathbf v \rangle}{Dt} \times \mathbf {D}= \mathbf 0

Teorema di dualità[modifica | modifica sorgente]

Al secondo membro della terza equazione può essere introdotto un termine di sorgente di densità di corrente magnetica \mathbf J_H in modo da simmetrizzarla con la quarta equazione, e nella seconda equazione un termine di sorgente di densità di carica magnetica \rho_H in modo da simmetrizzarla con la prima. Sebbene non siano state sinora osservate sperimentalmente cariche e/o correnti magnetiche, l'utilità di tale modifica consiste infatti nella possibilità di modellare, attraverso le grandezze fittizie, grandezze reali (ad esempio comprendendo come mai una spira percorsa da corrente possa essere una rappresentazione fisica di un dipolo magnetico). Le equazioni "simmetrizzate" sono:

Nome Senza Monopoli Magnetici Con Monopoli Magnetici
Legge di Gauss per il campo elettrico: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_E \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_E
Legge di Gauss per il campo magnetico: \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \nabla \cdot \mathbf{B} = \rho_H
Legge di Faraday per l'induzione: \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = 0 \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = - \mathbf J_H
Legge di Ampere-Maxwell:    \nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf J_E    \nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} = \mathbf J_E

Anche la forza di Lorentz diviene simmetrica:

\mathbf{F}=q_E\left(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B}\right) + q_H\left(\mathbf{B}-\frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{E}\right)

Questo permette di enunciare il cosiddetto teorema di dualità elettromagnetica, per il quale a partire dall'espressione di una grandezza elettrica o magnetica è possibile ottenere l'espressione dell'altra corrispondente. Le sostituzioni da operare sono le seguenti:

 \begin{matrix}
\mathbf{E} \rightarrow \mathbf{H} &\quad \mathbf{D} \rightarrow \mathbf{B} &\quad \mathbf J_E \rightarrow \mathbf J_H &\quad \rho_E \rightarrow \rho_H \\
\mathbf{H} \rightarrow -\mathbf{E} &\quad \mathbf{B} \rightarrow -\mathbf{D} &\quad \mathbf J_H \rightarrow -\mathbf J_E &\quad \rho_H \rightarrow -\rho_E \\
\qquad &\quad \varepsilon \rightarrow \mu &\quad \mu \rightarrow \varepsilon & \qquad \end{matrix}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Jackson, op. cit., Pag. 2
  2. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 456
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 175
  4. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 351
  5. ^ Richard Phillips Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics: The Definitive and Extended Edition, Addison Wesley, Reading (MA) 2nd ed. 2005, ISBN 0-8053-9045-6. trad. it. dell'edizione 2005, a cura di di G. Altarelli, C. Chiuderi, E. Clementel, S. Focardi, S. Franchetti, L. Monari, Giuliano Toraldo di Francia, Zanichelli, Bologna, 2007, Volume 2 - Elettromagnetismo e materia, Cap. XXV ISBN 978-88-08-14298-6.
  6. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 458
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 28
  8. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 353
  9. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 396
  10. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 397
  11. ^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas, Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8.
  12. ^ JC Slater and NH Frank, Electromagnetism, Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0.
  13. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 398
  14. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 502
  15. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 503
  16. ^ Jackson, op. cit., Pag. 239
  17. ^ Jackson, op. cit., Pag. 14
  18. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 504
  19. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 514
  20. ^ Jackson, op. cit., Pag. 241
  21. ^ Jackson, op. cit., Pag. 242
  22. ^ Jackson, op. cit., Pag. 240
  23. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 505
  24. ^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 506
  25. ^ Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
  26. ^ Jackson, op. cit., Pag. 247
  27. ^ Oleg D. Jefimenko, Solutions of Maxwell's equations for electric and magnetic fields in arbitrary media, American Journal of Physics 60 (10) (1992), 899-902

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • (EN) Maxwell, James Clerk, "A Treatise on Electricity and Magnetism", Clarendon Press, Oxford, 1873
  • (EN) Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
  • (EN) Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
  • (EN) Saslow, Wayne M.(2002). Electricity, Magnetism, and Light. Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6. See Chapter 8, and especially pp. 255–259 for coefficients of potential.
  • G. Gerosa, P. Lampariello, Lezioni di Campi Elettromagnetici, Seconda edizione, Roma, Ingegneria 2000, 2006, ISBN 978-88-86658-36-2.

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