Operatore di Laplace

In matematica, l'operatore di Laplace o laplaciano è un operatore differenziale del secondo ordine. L'operatore di Laplace può operare da due fino ad n dimensioni e può essere applicato sia a campi scalari, che vettoriali. In coordinate cartesiane è definito come la somma delle derivate parziali seconde non miste rispetto alle coordinate. Il suo nome deriva dal matematico ed astronomo francese Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Si tratta di un operatore ellittico che riveste grande importanza in matematica ed in fisica. Viene impiegato, ad esempio, per modellare la propagazione ondosa ed il flusso del calore, comparendo nell'equazione di Helmholtz.

Riveste un ruolo centrale in elettrostatica, comparendo nell'equazione di Laplace e nell'equazione di Poisson. Nella meccanica quantistica rappresenta l'osservabile energia cinetica e compare nell'equazione di Schrödinger. In idraulica viene utilizzato per ricavare l'espressione della cadente piezometrica in funzione delle caratteristiche di una corrente intubata nel regime laminare. In matematica le funzioni caratterizzate dall'annullarsi del laplaciano sono le funzioni armoniche; infine ricordiamo che l'operatore di Laplace si trova al centro della teoria di Hodge e dei risultati della coomologia di de Rham.

Espressioni

Il modo più semplice per denotare l'operatore di Laplace è attraverso il simbolo $\Delta$. Un secondo modo di esprimerlo, ben significativo, si serve dell'operatore differenziale vettoriale nabla $\nabla$ (elevato al quadrato) e si collega agli operatori differenziali divergenza e gradiente:

$\Delta f(\mathbf{x}) = \mbox{div}(\mbox{grad}f(\mathbf{x})) = \nabla\cdot\left(\nabla f(\mathbf{x})\right) = \nabla^2 f(\mathbf{x}) \, .$

L'operatore di Laplace in due dimensioni e nelle coordinate cartesiane è dato da:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \, ,$

mentre in coordinate polari è

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} \, .$

In tre dimensioni e nelle coordinate cartesiane è:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } \, ;$

nelle coordinate cilindriche:

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 } \, .$

nelle coordinate sferiche:

$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}$

$= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} \, .$

In un generico numero n (finito) di dimensioni, qualora lo spazio abbia metrica definita positiva, cioè sia euclideo, vale la seguente espressione cartesiana:

$\Delta=\nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2 \over \partial {x_i}^2 } \, .$

È anche possibile applicare l'operatore a un campo vettoriale $\mathbf f(\mathbf{x})= \mathbf{u}_{x} f_{x} + \mathbf{u}_{y} f_{y} + \mathbf{u}_{z} f_{z}$: in tal caso è sufficiente applicarlo separatamente alle tre componenti scalari cartesiane, e i tre scalari ottenuti rappresentano le componenti cartesiane del vettore risultante. Si ottiene quindi

$\Delta \mathbf f=\mathbf{u}_{x}\Delta f_{x} + \mathbf{u}_{y}\Delta f_{y} + \mathbf{u}_{z}\Delta f_{z}$

Un'altra forma del laplaciano in coordinate sferiche è:

$\nabla^2 = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} \left( \wedge^2 \right)$

Dove $\wedge^2$ (chiamato legendriano, dal matematico francese Adrien-Marie Legendre) è la parte angolare del Laplaciano. Questa forma viene utilizzata nella meccanica quantistica per il calcolo dell'hamiltoniano nel caso della rotazione in tre dimensioni di una particella, ed è definita come:

$\wedge^2 = {1 \over \mathrm{sen}^2 \theta} {\partial^2 \over \partial \phi^2} + {1 \over \mathrm{sen} \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \mathrm{sen} \theta {\partial \over \partial \theta} \right)$

Questa rappresentazione è molto importante perché consente il metodo della separazione della variabili, nell'equazione differenziale alle derivate parziali, che si deve calcolare per risolvere l'equazione di Schrödinger, per il caso appunto di una particella che si muove sulla superficie di una sfera.

Proprietà di base

Il laplaciano è un operatore lineare:

$\Delta (a\cdot f + b\cdot g) \,=\, a\cdot \Delta f + b\cdot \Delta g$

Direttamente dalla regola di derivazione del prodotto si ricava l'espressione:

$\Delta (f\cdot g)=(\Delta f)\cdot g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f\cdot (\Delta g)$

Se si cerca di approssimare l'applicazione dell'operatore di Laplace a una funzione $F(\mathbf{x})$ utilizzando i metodi numerici, vanno notate alcune interessanti proprietà. Ricordando la definizione di derivata di una funzione di una variabile:

$\frac{\partial f}{\partial x } = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$

e applicandola successivamente sulle diverse dimensioni dello spazio ambiente in modo da ottenere la somma delle derivate seconde lungo le diverse coordinate, si ottiene che il valore del laplaciano è simile al valore della media della funzione di campo in quel punto. In sostanza il laplaciano mostra come varia localmente la funzione nello spazio. Se si scrive:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} - \frac{f(x)-f(x-\epsilon)}{\epsilon}} {\epsilon}$

Quindi si può scrivere:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\epsilon)-2f(x)+f(x-\epsilon)}{\epsilon^2}$

Questa proprietà diventa molto interessante nel caso del campo elettromagnetico dato che l'operatore di Laplace del potenziale elettrico di un punto nello spazio è la divergenza dell'opposto del campo elettrico (ricordando che il laplaciano di un campo scalare è la divergenza del gradiente di tale campo):

$\operatorname{div\ grad\ } \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla \cdot -E$

poiché il campo elettrico è definito come l'opposto del gradiente del potenziale elettrico $\phi$, ossia: $E=-grad\ (\phi)$

Quindi il laplaciano segnala la variazione della densità di carica nello spazio.

L'operatore di laplace risulta molto utile anche nel caso di risoluzioni numeriche di equazioni tramite griglie. Il laplaciano in un punto della griglia sarà nullo solamente se il valore scalare del punto sarà uguale ai valori scalari dei punti vicini. Questo viene utilizzato nei metodi del rilassamento per risolvere l'equazione di Poisson o l'equazione della diffusione.

Voci correlate

• Operatore di d'Alembert
• Operatore biarmonico
• Operatore di Laplace-Beltrami
• Operatore di Laplace-de Rham

Collegamenti esterni

• Laplacian in MathWorld

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