Coomologia di De Rham

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In matematica la coomologia di De Rham è uno strumento usato in topologia algebrica e differenziale per studiare le varietà differenziabili. Prende il nome dal matematico Georges De Rham.

Definito usando le forme differenziali, la coomologia di De Rham è un invariante topologico delle varietà differenziabili che (intuitivamente) conta il loro "numero di buchi k-dimensionali".

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Preliminari[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi forma differenziale.

Sia M una varietà differenziabile di dimensione n e k un intero con

0\leq k \leq n.

Tutte le k-forme differenziali su M formano uno spazio vettoriale reale che viene indicato con

\Omega^k(M).

Questo spazio ha dimensione infinita. In particolare, per k=0 questo spazio è lo spazio delle funzioni differenziabili a valori in \R.

Il differenziale esterno di una forma differenziale \omega è una (k+1)-forma, indicata con il simbolo d\omega. Il differenziale definisce quindi una mappa

d:\Omega^k(M) \longrightarrow \Omega^{k+1}(M)

che risulta essere una applicazione lineare fra i due spazi vettoriali.

Complesso di cocatene[modifica | modifica sorgente]

Il complesso di De Rham è il complesso di cocatene seguente:

0 \to \Omega^0(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^1(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \cdots \stackrel{d}{\to}\ \Omega^{n-1}(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^n(M).

Poiché ogni forma esatta è anche chiusa, vale d(d\omega)=0 per ogni forma \omega, ovvero

d^2 = d\circ d = 0.

D'altra parte, una forma chiusa può non essere esatta, e la coomologia di De Rham misura proprio questo fenomeno; la coomologia è definita come l'omologia del complesso di De Rham nel modo seguente. Siano

C^k(M), Z^k(M) \subset \Omega^k(M)

i sottospazi formati rispettivamente dalle k-forme chiuse ed il sottospazio delle k-forme esatte. Poiché ogni forma esatta è chiusa, vale l'inclusione

Z^k(M)\subset C^k(M).

Il k-esimo gruppo di coomologia di De Rham è definito come il quoziente di questi due spazi:

H^k(M) = C^k(M)/{Z^k(M)}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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