Insieme localmente chiuso

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In matematica, un sottoinsieme S di uno spazio topologico (X,\Tau) si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

  • S è aperto nella sua chiusura;
  • S è aperto in un chiuso di X;
  • S è chiuso in un aperto di X;
  • per ogni punto x di S esiste un intorno aperto U di x tale che S \cap U è chiuso in U.

Osservazioni[modifica | modifica sorgente]

Se S è un sottoinsieme localmente chiuso di X, allora l'insieme \Omega = (X \setminus \bar{S}) \cup S è il più grande aperto di X in cui S è chiuso. Infatti, se A è un altro aperto in cui S è chiuso risulta S = \bar{S} \cap A e quindi \Omega = (X \setminus \bar{S}) \cup (\bar{S} \cap A) = ((X \setminus \bar{S}) \cup \bar{S})) \cap ((X \setminus \bar{S}) \cup A) = (X \setminus \bar{S}) \cup A per cui \Omega è aperto e A \subseteq \Omega.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
  • Il sottoinsieme A = \{(x,y) \in \mathbb{R}\ ^{2} : y \ge \ 0, x^2+y^2 \le \ 1 \} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}\ ^{2} : y < 0, x^2+y^2 < 1 \} di \mathbb{R}\ ^{2} munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
  • Ogni sottovarietà differenziabile di \mathbb{R}\ ^{n} è uno spazio localmente chiuso.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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