Teorema di Weierstrass

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Una funzione continua nell'intervallo [a,b] ammette un massimo e un minimo, rispettivamente in c e in d

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale. Il teorema può essere esteso anche a funzioni reali definite su spazi metrici e su spazi topologici.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Sia f:[a,b] \to \R una funzione continua, allora f(x) assume massimo e minimo assoluti nell'intervallo [a,b] .

Dimostrazione con la nozione di compattezza[modifica | modifica sorgente]

Poiché f è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che [a,b] è un intervallo chiuso e limitato per il teorema di Heine-Borel, è un compatto e quindi anche la sua immagine mediante f sarà un compatto. Di conseguenza, il codominio di f ammetterà massimo e minimo.

Dimostrazione con successioni di punti[modifica | modifica sorgente]

Poniamo s = \sup(f[a,b]) e individuiamo una successione y_n \in f[a,b] tale che y_n \rightarrow s per n \rightarrow \infty. Questa successione certamente esiste, infatti, se ciò non fosse vero nessuna successione convergerebbe ad s, in altre parole, per qualunque y_n si avrebbe che

\exists \varepsilon > 0 \; \forall m \in \mathbb{N} \; \exists n>m : |y_n-s|>\varepsilon

e d'altra parte, essendo y_n \in f([a,b]) \text{ }\forall n \in \N allora  \exists x_n \in [a,b]:f(x_n)=y_n per cui avremmo

\exists \varepsilon > 0 \; \exists x_n \in [a,b] : f(x_n) \ge s+\varepsilon>s \; \lor \; f(x_n) \le s-\varepsilon

cioè s\ne \sup(f[a,b]) in contraddizione con le ipotesi.

Scegliamo quindi una successione t_n \in [a,b] tale che f(t_n) = y_n. Per il teorema di Bolzano - Weierstrass (t_n) ha una sottosuccessione (t_{k_n}) che converge verso x_2 \in [a,b].

Per la continuità di f abbiamo y_{t_{k_n}}= f(t_{k_n})\rightarrow f(x_2) per n \rightarrow \infty. D'altra parte y_{t_{k_n}} \to s per n \rightarrow \infty.

Quindi per l'unicità del limite abbiamo s = f(x_2), cioè la funzione ha in x_2 un massimo assoluto.

Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto x_1 dove la funzione assume il valore minimo.

Spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

Il teorema nell'ambito degli spazi metrici ha la seguente forma:

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia f:X\to \mathbb{R} continua in X. Allora se X è compatto, f(x) ammette un punto di massimo e un punto di minimo in X. La formulazione per spazi topologici è del tutto analoga se (X,\mathcal{T}) è uno spazio compatto.[1]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ P. M. Soardi, op. cit., p.183

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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