Teorema di Weierstrass

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale.

Il teorema

Sia $f:[a,b] \to \R \!$ una funzione continua, allora $f(x) \!$ assume massimo e minimo nell'intervallo $[a,b] \!$.

Dimostrazione con la nozione di compattezza

Poiché $f \!$ è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che $[a,b] \!$ è un intervallo chiuso e limitato per il teorema di Heine-Borel, è un compatto e quindi anche la sua immagine mediante $f \!$ sarà un compatto. Di conseguenza, il codominio di $f \!$ ammetterà massimo e minimo.

Dimostrazione con successioni di punti

Poniamo $s = \sup(f[a,b])$ e individuiamo una successione $y_n \in f[a,b]$ tale che $y_n \rightarrow s$ per $n \rightarrow \infty$. Questa successione certamente esiste, infatti, se ciò non fosse vero nessuna successione convergerebbe ad $s$, in altre parole, per qualunque $y_n$ si avrebbe che $\exists \epsilon > 0 \; \forall m \in \mathbb{N} \; \exists n>m : |y_n-s|>\epsilon$, e d'altra parte, essendo $y_n \in f([a,b])$ allora $\exists \tilde{x}\in[a,b]:f(\tilde{x})=y_n$ per cui avremmo $\exists \epsilon > 0 \; \exists \tilde{x} \in [a,b] : f(\tilde{x}) \ge s+\epsilon>s \; \lor \; f(\tilde{x}) \le s-\epsilon$ cioè $s\ne \sup(f[a,b])$ in contraddizione con le ipotesi.

Scegliamo, inoltre, una successione $t_n \in [a,b]$ tale che $f(t_n) = y_n$.

Per il teorema di Bolzano - Weierstrass $(t_n)$ ha una sottosuccessione $(t_{k_n})$ che converge verso $x_2 \in [a,b]$.

Per la continuità di $f$ abbiamo $y_{t_{k_n}}= f(t_{k_n})\rightarrow f(x_2)$ per $n \rightarrow \infty$.

D'altra parte $y_{t_{k_n}} \to s$ per $n \rightarrow \infty$.

Quindi per l'unicità del limite abbiamo $s = f(x_2)$, cioè la funzione ha in $x_2$ un massimo assoluto.

Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto $x_1$ dove la funzione assume il valore minimo.

Voci correlate

• Teorema dei valori intermedi
• Teorema di Bolzano
• Teorema di Rolle
• Teorema di Lagrange
• Teorema di Cauchy

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