Funzione lipschitziana

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Interpretazione grafica della Condizione di Lipschitz: la funzione f=sin(x)cos(4x) è lipschitziana con K=4. Ciò significa che se prendiamo un qualunque punto del grafico della funzione e vi tracciamo le rette di coefficienti angolari 4 e -4 come in figura (dove queste rette sono state tracciate nell'origine) il grafico sarà sempre comunque confinato nella regione rosa.

In analisi matematica, una funzione lipschitziana è una funzione di variabile reale che ha una crescita limitata, nel senso che il rapporto tra variazione di ordinata e variazione di ascissa non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz. È una condizione più forte della continuità, e prende il suo nome da quello del matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

La lipschitzianità gioca un ruolo chiave nell'unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie. Si tratta infatti di una condizione centrale nel teorema di Picard-Lindelöf, che garantisce l'esistenza e l'unicità della soluzione per una certa condizione iniziale. Un tipo speciale di continuità di Lipschitz, detta contrazione, viene utilizzata nel teorema delle contrazioni.

Si verifica la seguente catena di inclusioni per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianitàcontinuità uniformecontinuità; con 0 < α ≤1.

Si ha inoltre: continuità di Lipschitz ⊆ continuità assolutavariazione limitata ⊆ differenziabilità quasi ovunque

Il concetto può essere introdotto in generale in spazi metrici. Una sua generalizzazione è data dal concetto di funzione hölderiana.

La condizione di Lipschitz[modifica | modifica sorgente]

Spazi normati[modifica | modifica sorgente]

Una funzione \mathbf{f}: \Omega \subseteq \R^n \rightarrow \R^m si dice lipschitziana su \Omega se \exists K \ge 0 tale che:

\left \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \right \| \le K \left \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right \| \qquad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \Omega

Spazi metrici[modifica | modifica sorgente]

Dati due spazi metrici (X_1,d_1) e (X_2,d_2). una funzione f:X_1\to X_2 soddisfa la condizione di Lipschitz se esiste una costante K>0 tale che, per ogni scelta di due punti x,y in X_1 si abbia:[1]

d_2(f(x),f(y))\leq K d_1(x,y).

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Una funzione derivabile f:I\to \mathbb{R}, con I intervallo di \mathbb{R}, è lipschitziana se e solo se la sua derivata prima è limitata. In questo caso, la costante di lipschitz è K = \sup |f'(x)|
  • Se una funzione f:U\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m è lipschitziana e differenziabile, allora esiste una costante K tale che \|J_f(x)\|\leq K.
  • Il rapporto incrementale di una funzione lipschitziana è limitato
  • Se una funzione è lipschitziana, è anche continua, ma non è detto che sia derivabile
  • Se vale la condizione più forte
\exists K \geq 1 tale che  \frac{1}{K}\|x_1-x_2\| \le \|f(x_1)- f(x_2)\| \le K \|x_1- x_2\|
allora la funzione si dice bilipschitziana. Una funzione bilipschitziana è un omeomorfismo sull'immagine e quindi in particolare iniettiva.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ P. M. Soardi, op. cit., p.198

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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