Teorema di Rolle

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In analisi matematica il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto (a,b) e assume valori uguali f(a)=f(b) negli estremi dell'intervallo, allora esiste almeno un punto c interno ad (a,b) in cui la derivata si annulla, cioè f'(c)=0 (punto critico o stazionario).

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Teorema di Rolle: Se f(x) è continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f(a) = f(b), allora esiste, in questo caso, c appartenente ad ]a,b[ tale che f'(c) = 0.

Sia f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}. Se f è continua in [a,b], derivabile in (a,b) e se vale f(a) = f(b), allora esiste un punto c\in (a,b) tale che

f'(c) = 0.[1]

Significato geometrico[modifica | modifica wikitesto]

Il significato geometrico del teorema di Rolle è il seguente: se il grafico di una funzione continua f definita su un intervallo [a,b] a valori in \Bbb R è dotato di tangente non verticale in ciascuno dei punti (x, f(x)), con x\in(a,b), e se la funzione f assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo [a,b], allora esiste almeno un punto c interno ad [a,b] tale che la retta tangente al grafico di f nel punto (c,f(c)) sia parallela all'asse delle ascisse.

Le ipotesi[modifica | modifica wikitesto]

Le ipotesi sulla continuità e derivabilità della funzione hanno le seguenti motivazioni:

  1. la richiesta di continuità sull'intervallo chiuso (e limitato) è necessaria per l'applicabilità del Teorema di Weierstrass, ovvero per assicurare l'esistenza di un massimo e un minimo assoluti della funzione nell'intervallo considerato;
  2. la richiesta di derivabilità sull'intervallo aperto è necessaria per l'applicabilità del Teorema di Fermat sui punti stazionari, ovvero per assicurare la stazionarietà della funzione in presenza di un punto estremante interno all'intervallo.

Come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

In virtù del teorema di Weierstrass la funzione sull'intervallo [a,b] ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con M e m). Si danno due casi: o il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi dell'intervallo [a,b] oppure almeno uno dei due è raggiunto in un punto appartenente all'intervallo (a,b).

  1. Il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi e quindi poiché f(a)=f(b) ne segue che M = m. Questo implica che la funzione è costante sull'intervallo [a,b] e quindi la derivata è nulla in ciascun punto c dell'intervallo (a,b).
  2. Il massimo o il minimo sono raggiunti all'interno dell'intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto c dell'intervallo aperto (a,b), cioè f(c)=M. Per il teorema di Fermat allora la derivata è nulla nel punto c.

Necessità delle tre ipotesi[modifica | modifica wikitesto]

Controesempio nº2. La funzione y = |x| nell'intervallo [-1,1] non è derivabile in x = 0 dove c'è un punto angoloso. Il teorema di Rolle non è quindi valido.

Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.

  1. Se f non è continua su [a,b] non vale il teorema di Rolle. Basta considerare il semplice controesempio f\colon [0,1]\to\R tale che f(x)=x per x < 1 e f(1)=0. La funzione è derivabile in (0,1) e f(0)=f(1)=0 non è continua nel punto 1. Per questa funzione non vale il teorema di Rolle, infatti la derivata non è mai nulla.
  2. Se f non è derivabile in (a,b) non vale il teorema di Rolle. Basta considerare la funzione f\colon [-1,1]\to\R, x\mapsto |x|. Essa è una funzione continua su [-1,1], inoltre f(1)=|1|=1=|-1|=f(-1), tuttavia non è derivabile in (a,b) quindi non valgono le ipotesi del teorema di Rolle e infatti la derivata dove esiste non è mai nulla.
  3. Se f(a)\neq f(b) non vale il teorema di Rolle, basta considerare il semplice controesempio f\colon[0,1]\to\R, x\mapsto x che è una funzione continua su [0,1], derivabile su (0,1), ma tale che f(0)=0\neq f(1)=1, e infatti il teorema di Rolle non vale.

Chiaramente il fatto che una funzione non soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle, non implica che non esistano punti in cui la sua derivata si annulla; semplicemente, rinunciando alle condizioni di Rolle, l'esistenza di tali punti non è garantita.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p. 222

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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