Teorema di Rolle

In analisi matematica il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso $[a,b]$, derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto $(a,b)$ e assume valori uguali $f(a)=f(b)$, esiste almeno un punto interno ad $(a,b)$ la cui derivata si annulla, cioè $f'(c)=0$ (Punto critico o stazionario).

Il teorema

Teorema di Rolle: Se f(x) è continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f(a) = f(b), allora esiste, in questo caso, c appartenente ad ]a,b[ tale che f'(c) = 0.

Sia $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$. Se $f$ è continua in $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$ e se è $f(a) = f(b)$, allora:

$\exists c \in (a,b) \colon f'(c) = 0$

Le ipotesi

Le ipotesi sulla continuità e differenziabilità della funzione hanno le seguenti motivazioni:

1. la richiesta di continuità sull'intervallo chiuso (e limitato) è necessaria per l'applicabilità del Teorema di Weierstrass, ovvero per assicurare l'esistenza di un massimo e un minimo globale della funzione nell'intervallo considerato;
2. la richiesta di derivabilità sull'intervallo aperto è necessaria per l'applicabilità del Teorema di Fermat sui punti stazionari, ovvero per assicurare la stazionarietà della funzione in presenza di un punto estremante interno all'intervallo.

Come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso.

Dimostrazione

In virtù del Teorema di Weierstrass la funzione sull'intervallo $[a,b]$ ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con $M$ e $m$). Si danno due casi: o il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi oppure almeno uno dei due appartiene all'intervallo $(a,b)$.

1. Il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi e quindi poiché $f(a)=f(b)$ ne segue che $M = m$. Questo implica che la funzione è costante sull'intervallo $[a,b]$ e quindi la derivata è nulla in ciascun punto $c$ dell'intervallo $(a,b)$.
2. Il massimo o il minimo sono raggiunti all'interno dell'intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto $c$ dell'intervallo aperto $(a,b)$, cioè $f(c)=M$.

Dunque per il Teorema di Fermat la derivata è nulla nel punto $c$.

Necessità delle tre ipotesi

Controesempio nº2. La funzione $y = |x|$ nell'intervallo $[-1,1]$ non è derivabile in x = 0 dove c'è un punto angoloso. Il teorema di Rolle non è quindi valido.

Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.

1. Se $f$ non è continua su $[a,b]$ non vale il teorema di Rolle. Basta considerare il semplice controesempio $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f(x)=x$ per $x < 1$ e $f(1)=0$. La funzione è derivabile in $(0,1)$ e $f(0)=f(1)=0$ non è continua nel punto 1. Per questa funzione non vale il Teorema di Rolle, infatti la derivata non è mai nulla.
2. Se $f$ non è derivabile in $(a,b)$ non vale il teorema di Rolle. Basta considerare la funzione $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow |x|$. Essa è una funzione continua su [-1,1], inoltre $f(1)=|1|=1=|-1|=f(-1)$, tuttavia non è derivabile in $(a,b)$ quindi non valgono le ipotesi del teorema di Rolle e infatti la derivata dove esiste non è mai nulla.
3. Se $f(a)\neq f(b)$ non vale il teorema di Rolle, basta considerare il semplice controesempio $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow x$ che è una funzione continua su $[0,1]$, derivabile su $(0,1)$, ma tale che $f(0)=0\neq f(1)=1$, e infatti il teorema di Rolle non vale.

Chiaramente il fatto che non valgano le ipotesi del Teorema di Rolle, non implica che non valga la tesi; semplicemente, rinunciando alle condizioni di Rolle, la tesi non è garantita.

Generalizzazioni

Una possibile generalizzazione del Teorema di Rolle ammette l'esistenza di punti di non derivabilità del tipo flesso a tangente verticale, cioè punti in cui il limite del rapporto incrementale è infinito.

Voci correlate

• Derivata
• Teorema di Lagrange
• Teorema di Cauchy

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