Funzione di variabile reale

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Grafico di una funzione R2R

Una funzione di variabile reale è una funzione nel senso più comune del termine, cioè una legge che agisce sui numeri (reali) e li trasforma in altri numeri reali. Più precisamente, una tale funzione si presenta come definita sul dominio \R o un suo sottoinsieme e a valori sempre reali.

Se consideriamo invece come dominio il prodotto cartesiano di \R due, tre, n volte, otteniamo una funzione che prende come argomento, invece che uno solo, due, tre, n numeri reali (come possono essere funzioni che calcolano la somma di due numeri, o il loro prodotto) e li trasforma in un unico numero reale. Si dice dunque che l'argomento della funzione è una n-upla di numeri reali, o un vettore di \R^n.

Rappresentazione di un campo vettoriale R3R3

Si può ulteriormente separare il discorso, considerando adesso funzioni che hanno come output non uno, bensì più numeri reali: la funzione che dati due interi restituisce il loro quoziente e resto ha due argomenti e due uscite, cioè un vettore di \R^2. Si parlerà dunque di funzioni scalari se il codominio è \R, di funzioni vettoriali se il codominio è \R^n per un certo n positivo. In particolare, si dirà campo vettoriale una funzione da (un sottoinsieme di) \R^n (con n > 1) in \R^n stesso.

In generale abbiamo dunque quattro situazioni possibili (n, m > 1):

  • f:\R \to \R: la situazione più classica
  • f:\R^n \to \R: una funzione scalare in n variabili
  • f:\R \to \R^n: una funzione vettoriale di una variabile (ad esempio quella che dato un numero restituisce parte intera e parte frazionaria)
  • f:\R^n \to \R^m: una funzione vettoriale in n variabili.

Le funzioni (scalari) di una variabile reale si classificano in:

  • Funzioni algebriche
  • Funzioni trascendenti

Funzioni algebriche[modifica | modifica sorgente]

Si chiama funzione algebrica una funzione costruita attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica e dell'elevamento a potenza.

Una sottoclasse molto importante è data dalle funzioni polinomiali, cioè quelle il cui valore coincide punto per punto con il valore assunto da un determinato polinomio; in altre parole, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore f(x) applicando un numero finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica. Queste funzioni sono definite per tutti i numeri reali.

Funzioni razionali[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni razionali sono quelle date dal rapporto di due funzioni polinomiali, cioè del tipo

\ f(x) = {}\frac{N(x)}{P (x)}\ =
\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot +a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdot\cdot\cdot + b_m}

Il dominio D della funzione è l'insieme degli elementi x \in \R tali che P(x) \ne 0. A volte queste sono chiamate funzioni razionali fratte e le polinomiali funzioni razionali intere.

Funzioni irrazionali[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni irrazionali sono l'estensione delle funzioni razionali mediante l'uso della radice.

Una funzione irrazionale è del tipo

f(x) = \sqrt[n]{ g(x)} ,

dove g(x) è una funzione razionale definita in un certo sottoinsieme I \subseteq \R.

Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice: se n è dispari allora il dominio \ D della funzione coincide con l'insieme I di g.

Se n è pari allora il dominio D della funzione è dato dall'insieme degli elementi x \in I che soddisfano la disequazione g(x)\ge 0.

Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.

Funzioni trascendenti[modifica | modifica sorgente]

Si chiamano funzioni trascendenti tutte quelle funzioni che non sono algebriche. Possono ad esempio contenere espressioni logaritmiche, esponenziali, trigonometriche. Si badi però che la presenza di tali espressioni non comporta nacessariamente che la funzione sia trascendente. Ad esempio, la funzione definita dall'espressione x + {sin}^{2}x + {cos}^{2}x è anche definita dal polinomio x + 1 e quindi è algebrica.

Fanno parte di questa classe anche le funzioni cosiddette non elementari o non esprimibili analiticamente (da non confondere con le funzioni analitiche, che riguardano un altro aspetto), cioè per cui non esiste formula chiusa che consenta di calcolare i valori f(x) a partire da x arbitrari: tra queste funzioni si trovano ad esempio la campana di Gauss o la funzione degli errori, ma anche molte delle funzioni definite ricorsivamente.

Funzioni trigonometriche[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni trigonometriche sono:

Il dominio della funzione è l'intera retta reale

Il dominio della funzione è l'intera retta reale

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi x \in \R tali che x \ne \frac \pi {2}+ k \pi con k \in \mathbb{Z}

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi x \in \R tali che x \ne\ k \pi con k  \in \mathbb{Z}

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi x \in \R tali che x \ne \frac \pi {2}+ k \pi con k  \in \mathbb{Z}

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi x \in \R tali che x \ne \ k \pi con k  \in \mathbb{Z}

e loro composizioni. Sono incluse qua anche le loro inverse, dette funzioni d'arco.

Funzioni esponenziali[modifica | modifica sorgente]

Si dice funzione esponenziale una funzione g: \R \to \R^+ del tipo:

\ g(x) = {[k(x)]}^{f(x)}

e relative trasformate.

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di k e f che soddisfano la condizione k(x) > 0. Tale funzione è l'inversa della funzione logaritmica.

Funzioni logaritmiche[modifica | modifica sorgente]

Si dice funzione logaritmica una funzione g: \R^ +  \to \R del tipo:

g(x) = log_{k(x)}{f(x)}

e relative trasformate.

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di k e f tali che f(x)> 0, k(x)> 0 e k(x) \ne \ 1. Tale funzione è l'inversa della funzione esponenziale.

Funzioni iperboliche[modifica | modifica sorgente]

Le funzioni iperboliche sono:

  • La funzione seno iperbolico: \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
  • La funzione coseno iperbolico: \cosh(x) =  \frac{e^x + e^{-x}}{2}
  • La funzione tangente iperbolica: \tanh(x) =  \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}
  • La funzione cotangente iperbolica: \coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}
  • La funzione secante iperbolica: \operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}
  • La funzione cosecante iperbolica: \operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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