Funzione di variabile reale

Grafico di una funzione R² → R

Una funzione di variabile reale è una funzione nel senso più comune del termine, cioè una legge che agisce sui numeri (reali) e li trasforma in altri numeri reali. Più precisamente, una tale funzione si presenta come definita sul dominio $\R$ o un suo sottoinsieme e a valori sempre reali.

Se consideriamo invece come dominio il prodotto cartesiano di $\R$ due, tre, n volte, otteniamo una funzione che prende come argomento, invece che uno solo, due, tre, n numeri reali (come possono essere funzioni che calcolano la somma di due numeri, o il loro prodotto) e li trasforma in un unico numero reale. Si dice dunque che l'argomento della funzione è una n-upla di numeri reali, o un vettore di $\R^n$.

Rappresentazione di un campo vettoriale R³ → R³

Si può ulteriormente separare il discorso, considerando adesso funzioni che hanno come output non uno, bensì più numeri reali: la funzione che dati due interi restituisce il loro quoziente e resto ha due argomenti e due uscite, cioè un vettore di $\R^2$. Si parlerà dunque di funzioni scalari se il codominio è $\R$, di funzioni vettoriali se il codominio è $\R^n$ per un certo n positivo. In particolare, si dirà campo vettoriale una funzione da (un sottoinsieme di) $\R^n$ (con n > 1) in $\R^n$ stesso.

In generale abbiamo dunque quattro situazioni possibili (n, m > 1):

• $f:\R \to \R$: la situazione più classica
• $f:\R^n \to \R$: una funzione scalare in n variabili
• $f:\R \to \R^n$: una funzione vettoriale di una variabile (ad esempio quella che dato un numero restituisce parte intera e parte frazionaria)
• $f:\R^n \to \R^m$: una funzione vettoriale in n variabili.

Le funzioni (scalari) di una variabile reale si classificano in:

• Funzioni algebriche
• Funzioni trascendenti

Funzioni algebriche

Si chiama funzione algebrica una funzione costruita attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica e dell'elevamento a potenza.

Una sottoclasse molto importante è data dalle funzioni polinomiali, cioè quelle il cui valore coincide punto per punto con il valore assunto da un determinato polinomio; in altre parole, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore f(x) applicando un numero finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica. Queste funzioni sono definite per tutti i numeri reali.

Funzioni razionali

Le funzioni razionali sono quelle date dal rapporto di due funzioni polinomiali, cioè del tipo

$\ f(x) =$ ${}\frac{N(x)}{P (x)}\ = \frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot +a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdot\cdot\cdot + b_m}\,$

Il dominio D della funzione è l'insieme degli elementi $x \in \R$ tali che $P(x) \ne 0$. A volte queste sono chiamate funzioni razionali fratte e le polinomiali funzioni razionali intere.

Funzioni irrazionali

Le funzioni irrazionali sono l'estensione delle funzioni razionali mediante l'uso della radice.

Una funzione irrazionale è del tipo

$f(x) = \sqrt[n]{ g(x)}$,

dove g(x) è una funzione razionale definita in un certo sottoinsieme $I \subseteq \R$.

Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice: se n è dispari allora il dominio $\ D$ della funzione coincide con l'insieme I di g.

Se n è pari allora il dominio D della funzione è dato dall'insieme degli elementi $x \in I$ che soddisfano la disequazione $g(x)\ge 0$.

Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.

Funzioni trascendenti

Si chiamano funzioni trascendenti tutte quelle funzioni che non sono algebriche, cioè che contengano operazioni diverse dalle quattro operazioni standard dell'aritmetica e dall'operazione di potenza (e radice): logaritmo, esponenziale, espressioni trigonometriche...

Fanno parte di questa classe anche le funzioni cosiddette non elementari o non esprimibili analiticamente (da non confondere con le funzioni analitiche, che riguardano un altro aspetto), cioè per cui non esiste formula chiusa che consenta di calcolare i valori f(x) a partire da x arbitrari: tra queste funzioni si trovano ad esempio la campana di Gauss o la funzione degli errori, ma anche molte delle funzioni definite ricorsivamente.

Funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche sono:

• La funzione seno: f(x) = sin x

Il dominio della funzione è l'intera retta reale

• La funzione coseno: f(x) = cos x

Il dominio della funzione è l'intera retta reale

• La funzione tangente: $f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi $x \in \R$ tali che $x \ne \frac \pi {2}+ k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$

• La funzione cotangente: $f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi $x \in \R$ tali che $x \ne\ k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$

• La funzione secante: $f(x) = \sec x= \frac{1}{\cos x}$

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi $x \in \R$ tali che $x \ne \frac \pi {2}+ k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$

• La funzione cosecante: $f(x) = \csc x= \frac{1}{\sin x}$

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi $x \in \R$ tali che $x \ne \ k \pi$ con $k \in \mathbb{Z}$

e loro composizioni. Sono incluse qua anche le loro inverse, dette funzioni d'arco.

Funzioni esponenziali

Dicesi funzione esponenziale una funzione $g: \R \to \R^+$ del tipo:

$\ g(x) = {[k(x)]}^{f(x)}$

e relative trasformate.

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di k e f che soddisfano la condizione k(x) > 0. Tale funzione è l'inversa della funzione logaritmica.

Funzioni logaritmiche

Dicesi funzione logaritmica una funzione $g: \R^ + \to \R$ del tipo:

$g(x) = log_{k(x)}{f(x)} \,$

e relative trasformate.

Il dominio della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due domini di k e f tali che f(x) > 0, k(x) > 0 e $k(x) \ne \ 1$. Tale funzione è l'inversa della funzione esponenziale.

Funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche sono:

• La funzione seno iperbolico: $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• La funzione coseno iperbolico: $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• La funzione tangente iperbolica: $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
• La funzione cotangente iperbolica: $\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$
• La funzione secante iperbolica: $\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$
• La funzione cosecante iperbolica: $\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$

Voci correlate

• Numero reale
• Funzione di variabile complessa
• Funzione elementare
• Analisi matematica

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