Funzione vettoriale

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Immagine della funzione (2\cos(t),4\sin(t),t) nello spazio euclideo tridimensionale

In matematica, una funzione vettoriale' è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano \R^n. Una funzione di questo tipo è identificata da una n-upla di funzioni reali fi(x), in cui ognuna rappresenta la dipendenza dell' i-esima componente del vettore immagine dall'argomento. Il dominio può a sua volta essere a una o più dimensioni.

Ad esempio, una funzione dai reali verso i vettori bidimensionali può essere indicata come:

\mathbf{f}(x)=\langle f_1(x),f_2(x)\rangle

o, utilizzando la notazione dei versori,

\mathbf{f}(x)=f_1(x)\mathbf{{\hat{i}}}+f_2(x)\mathbf{{\hat{j}}}

in cui f1 e f2 sono funzioni \R \rightarrow \R.

Il dominio di una funzione vettoriale è l'intersezione dei domini delle n funzioni reali.

Derivazione di una funzione vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Se \mathbf{f}:\R \to \R^n, si definisce la derivata di una funzione vettoriale esattamente allo stesso modo delle funzioni reali, cioè come il limite del rapporto incrementale:

\mathbf{f}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{f}(t+h) - \mathbf{f}(t)}{h},.

Grazie alle proprietà delle operazioni sui vettori, se tale limite esiste esso coincide con il vettore delle derivate delle singole funzioni, cioè \mathbf{f}'(x)=\langle f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x)\rangle.

Tutte le proprietà comode della derivazione reale ritornano in quella vettoriale. Notare che in particolare per la linearità della derivata e per la regola del prodotto, questo risultato può essere ricavato anche dalla scrittura di \mathbf{f} mediante versori, in quanto la derivata di un versore è 0.

Se \mathbf{f}:\R^n \to \R^m, con n,m>0, allora si hanno mn derivate parziali, ognuna per ogni combinazione delle n variabili con le m funzioni scalari. L'insieme di queste derivate (se esiste) si indica di solito in una matrice di m righe e n colonne, dove la i-esima riga rappresenta il gradiente della i-esima funzione scalare yi.

\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}

detta matrice jacobiana di \mathbf{f}.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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