Funzione vettoriale

Immagine della funzione $(2\cos(t),4\sin(t),t)$ nello spazio euclideo tridimensionale

In matematica, una funzione vettoriale è una funzione di variabile reale che assume valori nel prodotto cartesiano $\R^n$. Una funzione di questo tipo è identificata da una n-upla di funzioni reali f_i(x), in cui ognuna rappresenta la dipendenza dell' i-esima componente del vettore immagine dall'argomento. Il dominio può a sua volta essere a una o più dimensioni.

Ad esempio, una funzione dai reali verso i vettori bidimensionali può essere indicata come:

$\mathbf{f}(x)=\langle f_1(x),f_2(x)\rangle$

o, utilizzando la notazione dei versori,

$\mathbf{f}(x)=f_1(x)\mathbf{{\hat{i}}}+f_2(x)\mathbf{{\hat{j}}}$

in cui f₁ e f₂ sono funzioni $\R \rightarrow \R$.

Il dominio di una funzione vettoriale è l'intersezione dei domini delle n funzioni reali.

Derivazione di una funzione vettoriale

Se $\mathbf{f}:\R \to \R^n$, si definisce la derivata di una funzione vettoriale esattamente allo stesso modo delle funzioni reali, cioè come il limite del rapporto incrementale:

$\mathbf{f}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{f}(t+h) - \mathbf{f}(t)}{h},$.

Grazie alle proprietà delle operazioni sui vettori, se tale limite esiste esso coincide con il vettore delle derivate delle singole funzioni, cioè $\mathbf{f}'(x)=\langle f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x)\rangle$.

Tutte le proprietà comode della derivazione reale ritornano in quella vettoriale. Notare che in particolare per la linearità della derivata e per la regola del prodotto, questo risultato può essere ricavato anche dalla scrittura di $\mathbf{f}$ mediante versori, in quanto la derivata di un versore è 0.

Se $\mathbf{f}:\R^n \to \R^m$, con $n,m>0$, allora si hanno $mn$ derivate parziali, ognuna per ogni combinazione delle $n$ variabili con le $m$ funzioni scalari. L'insieme di queste derivate (se esiste) si indica di solito in una matrice di $m$ righe e $n$ colonne, dove la i-esima riga rappresenta il gradiente della i-esima funzione scalare y_i.

$\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

detta matrice jacobiana di $\mathbf{f}$.

Esempi

• La funzione che dato un numero reale restituisce la sua parte intera e la sua parte frazionaria è una funzione vettoriale.
• Un esempio meno banale e di estrema importanza è la parametrizzazione di una curva nel piano, o meglio nello spazio, a valori quindi in $\R^3$.

Voci correlate

• Funzione di variabile reale
• Curva (matematica)
• Derivata di un vettore
• Matrice jacobiana
• Funzione differenziabile

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