Teorema di Darboux

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Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Esso afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.

È da notare che quando f è continua e differenziabile (f è C1([a,b])) questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi, ma anche quando f' non è continua il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.

Grazie alla funzione base-13 di John Conway si può dire che il teorema di Darboux, valido per una funzione f, non è sempre valido per la sua funzione inversa f^{-1}.

Teorema di Darboux[modifica | modifica wikitesto]

Sia f:\left[a,b\right]\to \mathbb{R} una funzione continua a valori reali in \left[a,b\right], che sia differenziabile in \left(a,b\right). Allora f' soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni t compreso tra f'\left(a\right) e f'\left(b\right), esiste qualche x in \left[a,b\right] tale per cui f'\!\left(x\right) = t.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Senza perdita di generalità si può supporre che \emph f'_{+}(a) > t > f'_{-}(b). Sia \emph g(x) = f(x) - tx, allora \emph g'(x) = f'(x) - t, quindi sostituendo, si ha \emph g'_{+}(a) > 0 > g'_{-}(b) , e si vuole trovare uno zero di g'.

Siccome g è una funzione continua in [a,b], per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in [a,b], ma questo massimo non può trovarsi in a, poiché g'_{+}(a) > 0, cioè g è localmente crescente in a, e in modo del tutto simile non può trovarsi in b, poiché g'_{-}(b) < 0, cioè g è localmente decrescente in b. Pertanto il massimo deve stare in un punto c compreso in (a,b) tale che g'(c) = 0 per il teorema di Fermat sui punti stazionari, da cui la tesi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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