Omeomorfismo locale

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In topologia, un omeomorfismo locale è una funzione continua fra spazi topologici che si comporta localmente (ma non necessariamente globalmente) come un omeomorfismo.

Più precisamente, una funzione continua f : XY è un omeomorfismo locale se ogni punto x di X ha un intorno U tale che f(U) è aperto in Y e la restrizione di f da U in f(U) è un omeomorfismo.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Ogni omeomorfismo è un omeomorfismo locale, ma non è vero il viceversa: ad esempio la mappa
    \begin{matrix} f: & \R & \longrightarrow & S^1 \\ & x & \longmapsto & e^{2\pi i x}\end{matrix}
in cui la retta reale riveste la circonferenza S1 è un omeomorfismo locale (suriettivo) ma non un omeomorfismo (perché non è iniettiva).
  • Una funzione olomorfa da un aperto di C in C è un omeomorfismo locale se e solo se ha derivata non nulla in ogni punto. Ad esempio, la funzione
    \begin{matrix} f: & \mathbb{C}^* & \longrightarrow & \mathbb{C}^* \\ & z & \longmapsto & z^n \end{matrix}
definita sull'aperto C* = C \ {0} è un omeomorfismo locale per ogni n naturale positivo.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Ogni omeomorfismo locale è una funzione continua e aperta.
  • Un omeomorfismo locale bigettivo è un omeomorfismo.
  • Un omeomorfismo locale f : XY suriettivo preserva le proprietà topologiche "locali": lo spazio X è localmente connesso, compatto, contraibile, se e solo se lo è Y. Si osservi, tuttavia, che la suriettività di un omeomorfismo locale f non è sufficiente a preservare la proprietà di uno spazio di essere semplicemente connesso: si veda il primo esempio riportato sopra.
  • La composizione di due omeomorfismi locali è un altro omeomorfismo locale.
  • Due spazi topologici fra i quali si possa stabilire un omeomorfismo locale si dicono localmente omeomorfi. Per quanto detto, due spazi omeomorfi sono localmente omeomorfi, ma il viceversa non è sempre vero. Generalmente due spazi topologici localmente omeomorfi condividono tutte le proprietà locali ma non quelle globali; ad esempio uno spazio semplicemente connesso può essere localmente omeomorfo (ma solo localmente) a uno spazio non semplicemente connesso; infatti il toro è localmente omeomorfo al piano.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica