Diffeomorfismo locale

In matematica, un diffeomorfismo locale è una funzione che risulta essere un diffeomorfismo su aperti sufficientemente piccoli.

Un diffeomorfismo locale è un particolare omeomorfismo locale, spesso causato dall'invertibilità del differenziale di una funzione differenziabile, grazie al teorema di invertibilità locale.

Definizione

Sia

$f:M\to N$

una funzione differenziabile fra due varietà differenziabili della stessa dimensione $n$ (ad esempio, due aperti di $\R^n$). La funzione è un diffeomorfismo locale in un punto $x$ di $M$ se esiste un aperto $U$ contenente $x$ tale che $f(U)$ è aperto in $N$ e la restrizione

$f|_U:U\to f(U)\,\!$

è un diffeomorfismo.

La funzione $f$ è un diffeomorfismo locale (senza specificare $x$) se è tale per ogni $x$ in $M$.

Proprietà

Un diffeomorfismo locale è in particolare un omeomorfismo locale. Quindi è una funzione aperta.

Un diffeomorfismo locale che è anche biiettivo è un diffeomorfismo.

Bibliografia

• Peter W. Michor, Topics in differential geometry, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2008. 978-0-8218-2003-2, (EN) MR2428390.

Voci correlate

• Omeomorfismo locale
• Diffeomorfismo

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