Integrale di superficie

La definizione di integrale di superficie consiste nel suddividere una superficie in parti infinitesime tanto da poterle considerare piane.

In matematica, un integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea.

Definizione

Si definisce elemento di volume in $\R^k$ la k-forma:

$d \mathbf V = dx_1\wedge dx_2\wedge\cdots \wedge dx_k$

Sia $S$ una k-superficie positivamente orientata in $\R^k$ e $f$ una funzione continua definita sull'immagine di $S$. Allora:

$\int_{S} f(\mathbf x ) dx_1\wedge dx_2\wedge\cdots \wedge dx_k = \int_{S} f d\mathbf V_k$

Sia $D \in \mathbb{R}^k$ il dominio di parametrizzazione di $S$ e $S:D \to \mathbb{R}^k$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana $J_S$ positiva. Allora:

$\int_{S} f(\mathbf x ) dx_1\wedge dx_2\wedge\cdots \wedge dx_k = \int_{S} f (S(\mathbf u)) J_S(\mathbf u)d \mathbf u = \int_{S(D)} f (\mathbf x)d \mathbf x$

Se $f=1$ l'integrale fornisce il volume della superficie:

Integrale di 2-forme

Sia $S$ una 2-superficie in $\mathbb{R}^3$ con dominio di parametrizzazione $D \in \mathbb{R}^2$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $u$ e $v$:

$\mathbf{x} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))$

Sia:

$f=f_{z}\, dx \wedge dy + f_{x}\, dy \wedge dz + f_{y}\, dz \wedge dx$

una 2-forma definita su $S$.

Ad ogni punto $(u,v) \in D$ del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:

$\mathbf N (u,v) = \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)} \mathbf e_1 + \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)} \mathbf e_2 + \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \mathbf e_3$

dove i vettori $\mathbf e_i$ appartengono alla base canonica di $\mathbb{R}^3$.

Si definisce integrale di superficie di $f$ sulla superficie $S(D)$ la scrittura:

$\int_{S} f d\mathbf V_2 = \int_{D} f(S(u,v)) |\mathbf N (u,v)| dudv$

In modo equivalente si scrive anche, esplicitando il prodotto interno:

$\int_{S} f \,dS = \iint_{D} f(\mathbf{x}(u,v)) \left|{\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v}\right| du\, dv = \iint_D \left[ f_{z} ( \mathbf{x} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} + f_{x} ( \mathbf{x} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + f_{y} ( \mathbf{x} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv$

dove:

${\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)$

è l'elemento di superficie normale a $S$. Se $f=1$ l'integrale fornisce l'area della superficie:

$A(S) = \int_{D} |\mathbf N (u,v)| dudv$

Interpretando la 2-forma come un campo vettoriale $\mathbf F = (f_x,f_y,f_z)$ definito su $S$ si ha:

$\int_S {\mathbf F}\cdot \,d{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf F}\cdot {\mathbf n})\,dS=\iint_D {\mathbf F}(\mathbf{x}(u,v))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v}\right) du\, dv.$

dove $\mathbf n$ è il versore normale alla superficie.

Esempio

Sia $S$ una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni $x$, $y$ e $z$ di due variabili indipendenti $\xi$ e $\eta$:

$x = x (\xi \ , \eta) \qquad y = y (\xi \ , \eta) \qquad z = z (\xi \ , \eta)$

e sia $f(P)$ funzione continua dei punti $P(\xi, \eta)$ di detta superficie. Decomposta $S$ in modo arbitrario in elementi $\Delta s$, si fissi su ciascuno di questi un punto $P(\xi, \eta)$, e si formi il prodotto $f(P)\Delta s$ del valore di $f(P)$ per ogni $\Delta s$. La somma di tali prodotti è indicata con $\sum_{\Delta s=1}^n f(P)\Delta s$. Facendo aumentare indefinitamente il numero $n$ degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree $\Delta s$, se esiste il limite di tale somma e se è finito allora esso è l'integrale di superficie della funzione $f(P)$ sulla superficie $S$. Viene indicato con $\int_S f(P)\cdot ds$ oppure con $\iint_S f(P)\cdot ds$.

La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana $C$ proiezione della superficie $S$ sul piano x y.

Con lo spianamento della superficie $S$ l'integrale in $ds$ si trasforma nel seguente integrale doppio:

$\iint_C f(P)\cdot\sqrt{1+p^2+q^2}\cdot dC$

ove $p = {d\over dx}z$ e $q = {d\over dy}z$, che consente la valutazione dell'integrale di superficie.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991. ISBN 8838606471

Voci correlate

• Flusso

Collegamenti esterni

• Applicazione degli integrali di superficie alla cartografia

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