Flusso

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In matematica, il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata è definito come l'integrale di superficie del prodotto scalare del campo con il versore normale della superficie, esteso su tutta la superficie stessa.

Una qualsiasi superficie S nello spazio tridimensionale può essere, almeno localmente, orientata attribuendo ad ogni elemento di superficie infinitesimo dS un versore \hat n ad esso perpendicolare, secondo la convenzione della mano destra; si può pertanto definire la superficie infinitesima orientata:

\mathbf{\mbox{d}S}=\hat n \mbox{d}S

In fisica il flusso di una data grandezza fisica è usato in presenza di fenomeni di trasporto (le grandezze coinvolte possono essere per esempio il calore[1] o la massa) e rappresenta la quantità della grandezza che attraversa nell'unità di tempo una data superficie (perpendicolare rispetto alla direzione in cui avviene il trasporto della grandezza) diviso l'area della superficie considerata.[2]

Definizioni[modifica | modifica sorgente]

L'immagine illustra come il flusso di un campo attraverso una superficie dipenda dall'intensità del campo, dall'estensione della superficie e dalla loro rispettiva orientazione.

In algebra lineare quando un campo scalare \Phi_S e un campo vettoriale (non necessariamente tridimensionale) \vec \phi (\vec r, t) stanno fra loro nella relazione:

\Phi_S=\int_S \vec \phi \cdot \operatorname d \vec s,

con S una qualsiasi superficie nello spazio di riferimento; \Phi_S viene definito flusso di \vec \phi, e viceversa \vec \phi viene definito campo di \Phi_S:

\vec \phi = \frac {\partial \Phi_S}{\partial \vec S},

Esplicitando il prodotto scalare appare chiaro che il flusso elementare dΦ è nullo se il campo φ in quel punto e la superficie elementare \operatorname d \mathbf S sono perpendicolari; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

Si definisce invece fluenza il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un periodo di tempo:

\vec \Phi_T=\int_T \vec \phi \operatorname d t,

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Il termine flusso deriva originariamente dall'idrodinamica, con riferimento alla portata; tuttavia il flusso, in quanto concetto matematico, non rappresenta necessariamente il passaggio di energia o di materia. Spesso gli integrali di flusso sono impiegati assieme ad altri importanti risultati matematici di analisi vettoriale, quali il teorema della divergenza e il teorema del rotore, che spesso permettono il calcolo di un flusso senza doverlo svolgere esplicitamente.

Alcune grandezze fisiche (necessariamente vettoriali) delle quali si calcola spesso il flusso attraverso una superficie sono il campo gravitazionale ed il campo elettrico: il calcolo del flusso di questi campi attraverso una superficie chiusa risulta spesso facilitato dal teorema di Gauss, per via della loro particolare struttura. Nel caso del campo magnetico il flusso attraverso una superficie chiusa è identicamente nullo (si dice che il campo magnetico è solenoidale).

Trasporto di materia[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di trasporto di materia, il flusso può essere espresso dalle seguenti unità di misura nel Sistema internazionale delle unità di misura:

  • flusso in massa: kg/m2·s
  • flusso in moli: mol/m2·s

Il concetto di flusso molare viene utilizzato ad esempio dalle Leggi di Fick sulla diffusione di materia.

Trasporto di carica[modifica | modifica sorgente]

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi continui (ad esempio, liquidi e gas). Prendiamo una superficie infinitesima d S nello spazio: intendiamo calcolare il volume dv di fluido che transita attraverso quella superficie nella direzione \hat n, nel tempo dt. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità \mathbf v, dv è dato semplicemente dal volume del solido che ha \operatorname d \mathbf S come base e \mathbf v dt come altezza, cioè

\operatorname dv = \operatorname d \mathbf S \cdot \mathbf v \mbox{d}t

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con \hat n, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso d S è nullo, come è logico aspettarsi. Se si assegna al fluido, ad esempio, una densità di carica elettrica \rho_e, la carica che attraversa la superficie infinitesima in dt, su unità di tempo, sarà

\rho_e \frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}

cioè \mathbf J_e \cdot \operatorname d \mathbf S, dove \mathbf J_e = \rho_e \mathbf v è la densità di corrente elettrica.

Un discorso simile vale per la massa, o per altre grandezze simili; in idrodinamica addirittura la densità di corrente, riferendosi al volume fisico di liquido che scorre attraverso una data sezione, coincide con la velocità e prende il nome di portata volumetrica (rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo). La quantità di carica, di massa etc. che attraversa una qualunque superficie finita nel tempo dt (sempre su unità di tempo), si ottiene sommando i singoli contributi, cioè facendo il flusso della densità di corrente su quella superficie: ad esempio, sempre in fluidodinamica, la portata di massa, cioè la massa di fluido che transita attraverso la S superficie nell'unità di tempo, è data da:

I_m = \int_S \rho \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S

dove ρ rappresenta la densità del fluido. Si nota che se quest'ultima è in ogni punto costante nel tempo, per la legge di conservazione della massa la portata attraverso una qualunque sezione del tubo è costante: ciò implica che il flusso di \rho \mathbf v attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre nullo.

Elettrodinamica[modifica | modifica sorgente]

Un importante esempio nell'ambito dell'elettrodinamica è quello del vettore di Poynting, il cui flusso è la potenza elettromagnetica trasportata dall'onda:

 P(t)=\int_S \mathbf E(t) \times \mathbf H(t) \cdot \operatorname d \mathbf s,

la cui trasformata di Fourier è la potenza complessa.

 P(\omega)=\int_S \mathbf E(\omega) \times \mathbf H^*(\omega) \cdot \operatorname d \mathbf s,

Termodinamica[modifica | modifica sorgente]

Un altro importante esempio di flusso è la corrente termica di conduzione: in base alla legge di Fourier:

\dot Q= - \int_S \mathbf{k_{\mu\nu}} \cdot \mathbf \nabla T \cdot \operatorname d \mathbf s

dove \mathbf{k_{\mu\nu}} rappresenta il tensore conducibilità termica e \mathbf \nabla T è il gradiente della temperatura in funzione della posizione.

Astronomia[modifica | modifica sorgente]

Il concetto lega la luminosità assoluta P alla luminosità apparente I. La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una stella, al di sopra dell'atmosfera terrestre, in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \operatorname dS = 4 \pi r^2 I
Irradianza di fotoni da una sorgente stellare

la luminosità apparente misura quindi il tasso di scorrimento dell'energia attraverso la superficie di un oggetto. La luminosità assoluta in quanto potenza non dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia, mentre la luminosità apparente in quanto irradianza sì ed in modo inverso al quadrato, in quanto l'energia per raggiungerci si distribuisce entro una superficie sferica il cui raggio è la nostra distanza d, come illustrato in figura 1: se la distanza raddoppia noi riceviamo \left( \frac {1}{2} \right)^2 = \frac {1}{4} del flusso originario.

Per esempio recenti misure compiute in orbita (il Total Irradiance Monitor (TIM) montato a bordo di NASA Solar Radiation and Climate Experiment (SORCE)) hanno determinato la luminosità apparente del Sole circa alla nostra distanza (detta anche Costante di Radiazione Solare) come[3]:

I(149,6 Gm)= 1360,8 \pm 0,5\ \mathrm{W/m^2}

quindi calcoleremmo la luminosità solare circa in YottaWatt:

P = 4 \, \pi \, d^2 I(d) = 4 \pi \left ( 1,496 \cdot 10^{11} \right )^2  1360,8 W = 382,6 \pm 0,1 YW

In questo calcolo indiretto tutto sommato abbastanza preciso sarebbe però stato più significativo riferirsi alla distanza reale al momento della misurazione, con la relativa incertezza. L'eccentricità dell'orbita terrestre infatti rende l'unità astronomica solo una distanza media con una variazione massima di circa \pm 3,3\%. Quindi mentre la luminosità assoluta del Sole dipende soltanto dall'attività solare, quella apparente varia anche con la sua distanza dalla Terra.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "heat flux"
  2. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "flux"
  3. ^ G. Kopp and J. L. Lean, "A new, lower value of total solar irradiance: Evidence and climate significance" GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, VOL. 38, 2011

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Ernest Weekley, An Etymological Dictionary of Modern English, Courier Dover Publications, 1967, p. 581, ISBN 0-486-21873-2.
  • (EN) R. Byron Bird, Stewart, Warren E., and Lightfoot, Edwin N., Transport Phenomena, Wiley, 1960, ISBN 0-471-07392-X.
  • (EN) P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, Essential Principles of Physics, 2nd, John Murray, 1978, ISBN 0-7195-3382-1.
  • (EN) H.S. Carslaw, and Jaeger, J.C., Conduction of Heat in Solids, Second, Oxford University Press, 1959, ISBN 0-19-853303-9.
  • (EN) Welty, Wicks, Wilson and Rorrer, Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer, 4th, Wiley, 2001, ISBN 0-471-38149-7.
  • (EN) James Clerk Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism, 1892, ISBN 0-486-60636-8.
  • (EN) D. McMahon, Quantum Mechanics Demystified, Demystified, Mc Graw Hill, 2006, ISBN 0-07-145546-9.
  • (EN) Sakurai, J. J., Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, 1967, ISBN 0-201-06710-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]