Teorema del flusso

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Nella teoria dei campi vettoriali il teorema del flusso, anche noto come teorema di Gauss, afferma che i campi vettoriali radiali dipendenti dal reciproco del quadrato della distanza dall'origine hanno flusso attraverso una qualunque superficie chiusa indipendente dalla posizione interna delle cariche che lo generano.

L'enunciato ha due espressioni, una integrale e una differenziale, legate tra di loro dal teorema della divergenza.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

L'idea intuitiva è che il flusso è sempre lo stesso qualunque sia la superficie chiusa che contiene l'origine del campo radiale, in quanto all'aumentare della distanza r l'area della superficie aumenta come r^2, mentre l'intensità del campo diminuisce come r^{-2}. Tale invarianza del flusso costituisce la legge di Gauss, ed è più immediatamente comprensibile per questi campi rispetto ad una legge per la fluenza come quella di Newton o quella di Coulomb.

I risvolti fisici del teorema di Gauss sono profondi, poiché la legge corrispondente si applica ai campi gravitazionale ed elettrico: nel primo caso il flusso gravitazionale attraverso una superficie chiusa dipende solamente dalla massa contenuta al suo interno, nel secondo caso il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa dipende solamente dalla carica elettrica contenuta al suo interno.

Forma integrale[modifica | modifica wikitesto]

Superficie chiusa \partial V, frontiera del volume V. Sono evidenziati i versori normali alla superficie.

Sia \mathbf F:\mathbb R^3 \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R^3 un campo vettoriale definito come:

\mathbf F = F_1 \frac{\mathbf r}{r^3}

con F_1 costante in \mathbf r, vettore posizione spaziale in generale appartenente a \mathbb{R}^3.

Data una superficie chiusa \partial V che contenga l'origine e tale che ogni semiretta uscente dall'origine intersechi la superficie una e una sola volta, il teorema del flusso afferma che:

\Phi_{\partial V} (\mathbf F)=4\pi F_1

dove \Phi_{\partial V} (\mathbf F) è il flusso di \mathbf F sotto l'angolo solido giro 4 \pi.

Il teorema si estende immediatamente eliminando l'ipotesi che ogni semiretta uscente dall'origine intersechi la superficie una e una sola volta, semplicemente osservando che eventuali altre intersezioni dell'angolo solido con la superficie delimitano coppie di superfici infinitesime attraverso le quali il flusso ha direzione opposta, e pertanto danno contributo nullo. Se invece la superficie non comprende l'origine il numero di intersezioni dell'angolo solido con la superficie è sempre pari e quindi il flusso totale è nullo.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere una sorgente q all'interno di un volume V delimitato dalla superficie \partial V. Il campo F_1\frac{\mathbf r}{r^3} generato forma con l'elemento di superficie \mbox{d}S di \partial V un angolo \theta, sicché:

(\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = \frac{F_1 \cos \theta }{r^2} \mbox{d}S

dove \mathbf n è il versore normale alla superficie. Dato che l'elemento di angolo solido sotteso a \mbox{d}S rispetto alla posizione di q è \mbox{d}\Omega = \cos \theta \mbox{d}S /r^2 si ha:[1]

(\mathbf F \cdot \mathbf n )\mbox{d}S = F_1 \mbox{d}\Omega

Il flusso uscente attraverso la superficie \partial V è quindi:

\Phi_{\partial V} (\mathbf F) = \int_{\partial V} (\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = F_1 \int_{V} \mbox{d}\Omega

in cui l'integrale completo dell'angolo solido è pari a 4\pi.

Forma differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della divergenza.

Il teorema della divergenza afferma che il flusso di un campo vettoriale \mathbf F di classe C^1 attraverso una superficie chiusa \partial V coincide con l'integrale della divergenza del campo svolto nel volume V di cui la superficie è frontiera:[2]

\int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \mbox{d}v = \int_{\partial V} (\mathbf{F} \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S

Si supponga che la sorgente del campo \mathbf F sia una distribuzione di densità \sigma(\mathbf r) il cui integrale sull'intero volume V sia 4 \pi F_1. Ad esempio, in elettrostatica solitamente \sigma = \rho / \varepsilon_0 è la densità di carica volumica divisa per la costante dielettrica nel vuoto. Sfruttando il teorema della divergenza si ha:

\Phi_{\partial V} (\mathbf F) = \int_{\partial V} (\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \mbox{d}v = \int_V \sigma(\mathbf r) \mbox{d}v

da cui:

\int_V \left( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} - \sigma(\mathbf r) \right) \mbox{d}v = 0

Si ottiene pertanto la relazione differenziale:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} = \sigma(\mathbf r)

Caso discreto[modifica | modifica wikitesto]

Le relazioni per il caso continuo in precedenza introdotte possono essere ricondotte senza perdita di generalità al caso di una distribuzione discreta di carica introducendo la distribuzione delta di Dirac \delta. Definita una classe di funzioni \rho indicizzate dal parametro k:

\rho = F_{1k}\delta(\mathbf r - \mathbf r_k)

l'identità:

\int_{V}F_{1k}\delta(\mathbf r - \mathbf r_k)\operatorname dv = \sum_k F_{1k}

consente di convertire in sommatoria l'integrazione su tutto il volume in cui è contenuta la distribuzione discreta sorgente del campo. In particolare, la linerarità dell'integrale consente di generalizzare il risultato per un campo vettoriale \mathbf F dato dalla somma di più campi radiali \mathbf f_k centrati in punti diversi:

\mathbf F=\sum_{k=1}^N \mathbf f_k=\sum_{k=1}^N F_1(\mathbf r_k) \frac{\mathbf r - \mathbf r_k}{\left| \mathbf r- \mathbf r_k \right|^3}\qquad F_1(\mathbf r_k)=F_{1k}

Il teorema di Gauss mostra che il valore del flusso del campo attraverso \partial V dipende soltanto dai contributi interni alla superficie, cioè dai campi \mathbf f_k la cui sorgente sia contenuta in \partial V. Si ha quindi:

\Phi (\mathbf F)=4\pi \sum_k F_{1k}

dove nella sommatoria sono inclusi solo i coefficienti F_{1k} relativi ai campi \mathbf f_k centrati in punti interni alla superficie.

Campo gravitazionale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Interazione gravitazionale.

Il campo di accelerazione gravitazionale \mathbf g generato da una massa (gravitazionale) M posizionata in \mathbf r_0 vale:

\mathbf g = -GM \frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3}

In virtù del teorema di Gauss, il flusso del campo attraverso una qualunque superficie chiusa \partial V che contenga il punto \mathbf r_0 è dato da:

\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4\pi GM_V

mentre se la superficie non contiene \mathbf r_0 il flusso è nullo. Nel caso di N masse m_k puntiformi, delle quali k interne alla superficie, si ha:

\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4\pi G\sum_k m_k

Passando al continuo:

\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4 \pi G \int_V \rho \mbox {d} v \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho

dove \rho è la densità di massa volumetrica. Le ultime due relazioni sono valide quasi ovunque, cioè ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, quale ad esempio un insieme finito di punti. Il motivo di ciò è che nel caso di masse puntiformi la densità diverge sulle masse stesse, causando una divergenza infinita del campo. Alternativamente, basta notare che la forza gravitazionale diverge nel punto nel quale è localizzata la massa a causa dell'annullarsi del denominatore.

Campo elettromagnetico[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Gauss è di fondamentale importanza nell'ambito dello studio dell'interazione elettromagnetica, che si propaga attraverso il campo elettromagnetico: si tratta di un campo tensoriale il cui comportamento è descritto dalle equazioni di Maxwell.

Campo elettrico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Campo elettrico e Induzione elettrica.

Il campo elettrico nel punto \mathbf r generato da una carica totale Q_V posta nel punto \mathbf r_0 vale:

\mathbf D = \frac{Q_V}{4 \pi}\frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3}

Si ottiene che il flusso attraverso il bordo \partial V di un volume V è dato da:

 \Phi_{\partial V} (\mathbf D)=Q_V

mentre se la superficie \partial V non contiene \mathbf r_0 il flusso è nullo. Nel caso di più cariche puntiformi interne alla superficie:

\Phi_{\partial V} (\mathbf D)=\sum_k q_k

e passando al continuo si ha:[3]

\Phi_{\partial V} (\mathbf D)=\int_V \rho \mbox {d} v

dove \rho è la densità delle cariche libere, cioè senza contare le cariche di polarizzazione. Grazie al teorema della divergenza, uguagliando gli integrandi si ottiene:[4]

\mathbf \nabla \cdot \mathbf D = \rho

Tale relazione è la prima delle equazioni di Maxwell, ed è valida quasi ovunque: la densità di carica diverge infatti dove sono presenti cariche localizzate.

Nel caso di materiale lineare, omogeneo e isotropo (come il vuoto), la permittività elettrica relativa \varepsilon_r è un numero (e non un tensore) e si ha \mathbf E = \mathbf D / \varepsilon_0 \varepsilon_r. Si può quindi applicare il teorema di Gauss direttamente al campo elettrico:[5]

\mathbf E = \frac{Q_V}{4 \pi \varepsilon_0\varepsilon_r}\frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3}

Il teorema assume così le seguenti formulazioni globale e locale:[6]

\Phi_{\partial V} (\mathbf E) = \frac {Q_V}{\varepsilon} \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf E = \frac \rho \varepsilon

dove \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r.

Campo magnetico[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi campo magnetico.

A causa dell'assenza di monopoli magnetici, il teorema di Gauss applicato all'induzione magnetica \mathbf B assume semplicemente la forma:[7]

\Phi_{\partial V} (\mathbf B)=\oint_{\partial V} \mathbf B \cdot \mbox{d} S =0 \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf B =0

che esprime la solenoidalità del campo magnetico. In particolare, la seconda delle due relazioni è la seconda equazione di Maxwell.

La legge di Biot-Savart concorda con la legge di gauss per l'induzione magnetica, infatti:

\mathbf \nabla \cdot \mathbf B=\mathbf \nabla \cdot \frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \frac  {\mathbf{\mbox{d}r}\, ' \times \partial \mathbf r} { | \partial \mathbf r|^3}=\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \mathbf \nabla \cdot \left( \mbox{d}\mathbf r\, ' \times \frac  {\partial \mathbf r} { | \partial \mathbf r|^3} \right)=-\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \mathbf \nabla \cdot \left( \mbox{d}\mathbf r\, ' \times \mathbf \nabla \frac{1}{| \partial r |}\right)

Utilizzando l'identità del prodotto triplo:

 \mathbf \nabla \cdot ( \mathbf a \times \mathbf b)=\mathbf \nabla  \times \mathbf a \cdot \mathbf b - \mathbf a \cdot \mathbf \nabla \times \mathbf b

si ottiene:

\mathbf \nabla \cdot \mathbf B=-\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \left( \mathbf \nabla \times
\mathbf{\mbox{d}r}\, '\right) \cdot \mathbf \nabla \frac{1}{| \partial r |}
+\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \mathbf{\mbox{d}r}\, ' \cdot
\mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \frac{1}{| \partial r |}=0

Tale espressione è identicamente nulla poiché l'operatore nabla agisce sulle coordinate x, y e z, e non sulle coordinate primate dalle quali dipende la variabile di integrazione, ed inoltre il rotore di un gradiente è identicamente nullo, in quanto i campi conservativi sono irrotazionali.

A questo punto è possibile passare dalla forma differenziale a quella integrale: se la divergenza del vettore \mathbf B è identicamente nulla, un suo qualunque integrale di volume sarà anch'esso nullo. E dunque, sfruttando il teorema della divergenza, il flusso di \mathbf B attraverso la frontiera del volume sarà nullo.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Applicazioni del teorema del flusso.

Il teorema di Gauss facilita enormemente il calcolo di campi gravitazionali ed elettrostatici in presenza di simmetrie del sistema, mediante la scelta di opportune superfici gaussiane sulle quali sia particolarmente semplice il calcolo del flusso, cioè di solito dove il campo è nullo o costante.

Un caso notevole è quello del campo gravitazionale generato da una sfera omogenea di massa M e raggio R (come può esserlo un pianeta, in prima approssimazione). Scegliendo come superficie sulla quale calcolare il flusso una sfera concentrica di raggio r otteniamo immediatamente:

\Phi_{\partial V}(\mathbf g)=\oint_{\partial V} \mathbf g \cdot \mbox{d}S = -g \oint_{\partial V} \mbox{d}S = -g \cdot 4 \pi r^2

avendo usato il fatto che il campo è per simmetria punto per punto perpendicolare alla superficie e costante in modulo su di essa. Applicando il teorema di Gauss:

\Phi_{\partial V}(\mathbf g) =-4 \pi r^2 g =-4 \pi GM_V

Da qui distinguiamo i due casi:

\begin{cases}
g=\frac{GM_V}{r^2} \qquad \quad R \le r \\
g=\frac{GM_V}{R^3}r \qquad 0 \le r \le R\end{cases}

Vettorialmente, tenendo conto della direzione del campo:

\begin{cases}
\mathbf g=-\frac{GM_V}{r^2}\hat r \qquad \quad R \le r \\
\mathbf g=-\frac{GM_V}{R^3}\mathbf r \qquad 0 \le r \le R\end{cases}

Notiamo che l'andamento del campo all'esterno è uguale a quello di una carica puntiforme posizionata nel centro della sfera su cui sia concentrata tutta la massa M; inoltre il campo esterno non dipende dalla distribuzione della massa nella sfera (purché la densità sia radiale, pena la perdita della simmetria sferica).

In perfetta analogia, il campo elettrico generato nel vuoto da una sfera con una densità di carica elettrica ρ costante vale:

\begin{cases}
\mathbf E=\frac{Q_V}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2}\hat r \qquad \quad R \le r \\
\mathbf E=\frac{Q_V}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{R^3}\mathbf r \qquad 0 \le r \le R\end{cases}

dove Q rappresenta la carica totale posseduta dalla sfera.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 28
  2. ^ Jackson, Pag. 29
  3. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 20
  4. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 28
  5. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 143
  6. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 144
  7. ^ Mencuccini, Silvestrini, Pag. 259

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
  • John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]