Teorema del flusso

In teoria dei campi vettoriali il teorema del flusso, anche noto come teorema di Gauss, afferma che i campi vettoriali radiali dipendenti dal reciproco del quadrato della distanza dall'origine hanno flusso attraverso una qualunque superficie chiusa indipendente dalla posizione interna delle cariche che lo generano.

L'enunciato ha due espressioni, una integrale e una differenziale, legate tra di loro dal teorema della divergenza.

Descrizione

L'idea intuitiva è che il flusso è sempre lo stesso qualunque sia la superficie chiusa che contiene l'origine del campo radiale, in quanto all'aumentare della distanza $r$ l'area della superficie aumenta come $r^2$, mentre l'intensità del campo diminuisce come $r^{-2}$. Tale invarianza del flusso costituisce la legge di Gauss, ed è più immediatamente comprensibile per questi campi rispetto ad una legge per la fluenza come quella di Newton o quella di Coulomb.

I risvolti fisici del teorema di Gauss sono profondi, poiché la legge corrispondente si applica ai campi gravitazionale ed elettrico: nel primo caso il flusso gravitazionale attraverso una superficie chiusa dipende solamente dalla massa contenuta al suo interno, nel secondo caso il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa dipende solamente dalla carica elettrica contenuta al suo interno.

Forma integrale

Superficie chiusa $\partial V$, frontiera del volume $V$. Sono evidenziati i versori normali alla superficie.

Sia $\mathbf F:\mathbb R^3 \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb R^3$ un campo vettoriale definito come:

$\mathbf F = F_1 \frac{\mathbf r}{r^3}$

con $F_1$ costante in $\mathbf r$, vettore posizione spaziale in generale appartenente a $\mathbb{R}^3$.

Data una superficie chiusa $\partial V$ che contenga l'origine e tale che ogni semiretta uscente dall'origine intersechi la superficie una e una sola volta, il teorema del flusso afferma che:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf F)=4\pi F_1$

dove $\Phi_{\partial V} (\mathbf F)$ è il flusso di $\mathbf F$ sotto l'angolo solido giro $4 \pi$.

Il teorema si estende immediatamente eliminando l'ipotesi che ogni semiretta uscente dall'origine intersechi la superficie una e una sola volta, semplicemente osservando che eventuali altre intersezioni dell'angolo solido con la superficie delimitano coppie di superfici infinitesime attraverso le quali il flusso ha direzione opposta, e pertanto danno contributo nullo. Se invece la superficie non comprende l'origine il numero di intersezioni dell'angolo solido con la superficie è sempre pari e quindi il flusso totale è nullo.

Dimostrazione

Si supponga di avere una sorgente $q$ all'interno di un volume $V$ delimitato dalla superficie $\partial V$. Il campo $F_1\frac{\mathbf r}{r^3}$ generato forma con l'elemento di superficie $\mbox{d}S$ di $\partial V$ un angolo $\theta$, sicché:

$(\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = \frac{F_1 \cos \theta }{r^2} \mbox{d}S$

dove $\mathbf n$ è il versore normale alla superficie. Dato che l'elemento di angolo solido sotteso a $\mbox{d}S$ rispetto alla posizione di $q$ è $\mbox{d}\Omega = \cos \theta \mbox{d}S /r^2$ si ha:

$(\mathbf F \cdot \mathbf n )\mbox{d}S = F_1 \mbox{d}\Omega$

Il flusso uscente attraverso la superficie $\partial V$ è quindi:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf F) = \int_{\partial V} (\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = F_1 \int_{V} \mbox{d}\Omega$

in cui l'integrale completo dell'angolo solido è pari a $4\pi$.

Forma differenziale

Per approfondire, vedi Teorema della divergenza.

Il teorema della divergenza afferma che il flusso di un campo vettoriale $\mathbf F$ di classe $C^1$ attraverso una superficie chiusa $\partial V$ coincide con l'integrale della divergenza del campo svolto nel volume $V$ di cui la superficie è frontiera:

$\int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \mbox{d}v = \int_{\partial V} (\mathbf{F} \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S$

Si supponga che la sorgente del campo $\mathbf F$ sia una distribuzione di densità $\sigma(\mathbf r)$ il cui integrale sull'intero volume $V$ sia $4 \pi F_1$. Ad esempio, in elettrostatica solitamente $\sigma = \rho / \varepsilon_0$ è la densità di carica volumica divisa per la costante dielettrica nel vuoto. Sfruttando il teorema della divergenza si ha:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf F) = \int_{\partial V} (\mathbf F \cdot \mathbf n ) \mbox{d}S = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \mbox{d}v = \int_V \sigma(\mathbf r) \mbox{d}v$

da cui:

$\int_V \left( \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} - \sigma(\mathbf r) \right) \mbox{d}v = 0$

Si ottiene pertanto la relazione differenziale:

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} = \sigma(\mathbf r)$

Caso discreto

Le relazioni per il caso continuo in precedenza introdotte possono essere ricondotte senza perdita di generalità al caso di una distribuzione discreta di carica introducendo la distribuzione delta di Dirac $\delta$. Definita una classe di funzioni $\rho$ indicizzate dal parametro $k$:

$\rho = F_{1k}\delta(\mathbf r - \mathbf r_k)$

l'identità:

$\int_{V}F_{1k}\delta(\mathbf r - \mathbf r_k)\operatorname dv = \sum_k F_{1k}$

consente di convertire in sommatoria l'integrazione su tutto il volume in cui è contenuta la distribuzione discreta sorgente del campo. In particolare, la linerarità dell'integrale consente di generalizzare il risultato per un campo vettoriale $\mathbf F$ dato dalla somma di più campi radiali $\mathbf f_k$ centrati in punti diversi:

$\mathbf F=\sum_{k=1}^N \mathbf f_k=\sum_{k=1}^N F_1(\mathbf r_k) \frac{\mathbf r - \mathbf r_k}{\left| \mathbf r- \mathbf r_k \right|^3}\qquad F_1(\mathbf r_k)=F_{1k}$

Il teorema di Gauss mostra che il valore del flusso del campo attraverso $\partial V$ dipende soltanto dai contributi interni alla superficie, cioè dai campi $\mathbf f_k$ la cui sorgente sia contenuta in $\partial V$. Si ha quindi:

$\Phi (\mathbf F)=4\pi \sum_k F_{1k}$

dove nella sommatoria sono inclusi solo i coefficienti $F_{1k}$ relativi ai campi $\mathbf f_k$ centrati in punti interni alla superficie.

Campo gravitazionale

Per approfondire, vedi Interazione gravitazionale.

Il campo di accelerazione gravitazionale $\mathbf g$ generato da una massa (gravitazionale) $M$ posizionata in $\mathbf r_0$ vale:

$\mathbf g = -GM \frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3}$

In virtù del teorema di Gauss, il flusso del campo attraverso una qualunque superficie chiusa $\partial V$ che contenga il punto $\mathbf r_0$ è dato da:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4\pi GM_V$

mentre se la superficie non contiene $\mathbf r_0$ il flusso è nullo. Nel caso di $N$ masse $m_k$ puntiformi, delle quali $k$ interne alla superficie, si ha:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4\pi G\sum_k m_k$

Passando al continuo:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf g)=-4 \pi G \int_V \rho \mbox {d} v \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho$

dove $\rho$ è la densità di massa volumetrica. Le ultime due relazioni sono valide quasi ovunque, cioè ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, quale ad esempio un insieme finito di punti. Il motivo di ciò è che nel caso di masse puntiformi la densità diverge sulle masse stesse, causando una divergenza infinita del campo. Alternativamente, basta notare che la forza gravitazionale diverge nel punto nel quale è localizzata la massa a causa dell'annullarsi del denominatore.

Campo elettromagnetico

Il teorema di Gauss è di fondamentale importanza nell'ambito dello studio dell'interazione elettromagnetica, che si propaga attraverso il campo elettromagnetico: si tratta di un campo tensoriale il cui comportamento è descritto dalle equazioni di Maxwell.

Campo elettrico

Per approfondire, vedi campo elettrico e induzione elettrica.

L'induzione elettrica generata in un qualsiasi materiale come un dielettrico da una carica totale $Q_V$ prensente in $\mathbf r_0$ vale:

$\mathbf D = \frac{Q_V}{4 \pi}\frac{\mathbf r - \mathbf r_0}{\left| \mathbf r- \mathbf r_0 \right|^3}$

da cui:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf D)=Q_V$

mentre se la superficie non contiene $\mathbf r_0$ il flusso è nullo. Nel caso di più cariche puntiformi interne alla superficie:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf D)=\sum_k q_k$

e passando al continuo si ha:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf D)=\int_V \rho \mbox {d} v$

dove $\rho$ è la densità delle cariche libere, cioè senza contare le cariche di polarizzazione. Grazie al teorema della divergenza, uguagliando gli integrandi si ottiene:

$\mathbf \nabla \cdot \mathbf D = \rho$

Tale relazione è la prima delle equazioni di Maxwell, ed è valida quasi ovunque: la densità di carica diverge infatti dove sono presenti cariche localizzate.

Nel caso di materiale lineare, omogeneo e isotropo (come il vuoto) si può applicare il teorema di Gauss direttamente al campo elettrico $\mathbf E$:

Il teorema di Gauss assume così le seguenti formulazioni globale e locale:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf E) = \frac {Q_V}{\varepsilon} \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf E = \frac \rho \varepsilon$

Campo magnetico

Per approfondire, vedi campo magnetico.

A causa dell'assenza di monopoli magnetici, il teorema di Gauss applicato all'induzione magnetica $\mathbf B$ assume semplicemente la forma:

$\Phi_{\partial V} (\mathbf B)=\oint_{\partial V} \mathbf B \cdot \mbox{d} S =0 \qquad \mathbf \nabla \cdot \mathbf B =0$

che esprime la solenoidalità del campo magnetico. In particolare, la seconda delle due relazioni è la seconda equazione di Maxwell.

Una dimostrazione equivalente si basa sul calcolo diretto della divergenza del campo magnetico tramite la Legge di Biot-Savart:

$\mathbf \nabla \cdot \mathbf B=\mathbf \nabla \cdot \frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \frac {\mathbf{\mbox{d}r}\, ' \times \partial \mathbf r} { | \partial \mathbf r|^3}=\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \mathbf \nabla \cdot \left( \mbox{d}\mathbf r\, ' \times \frac {\partial \mathbf r} { | \partial \mathbf r|^3} \right)=-\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \mathbf \nabla \cdot \left( \mbox{d}\mathbf r\, ' \times \mathbf \nabla \frac{1}{| \partial r |}\right)$

Utilizzando l'identità del prodotto triplo:

$\mathbf \nabla \cdot ( \mathbf a \times \mathbf b)=\mathbf \nabla \times \mathbf a \cdot \mathbf b - \mathbf a \cdot \mathbf \nabla \times \mathbf b$

si ottiene:

$\mathbf \nabla \cdot \mathbf B=-\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \left( \mathbf \nabla \times \mathbf{\mbox{d}r}\, '\right) \cdot \mathbf \nabla \frac{1}{| \partial r |} +\frac{\mu I}{4 \pi} \oint_{\partial S} \mathbf{\mbox{d}r}\, ' \cdot \mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \frac{1}{| \partial r |}=0$

Tale espressione è identicamente nulla poiché l'operatore nabla agisce sulle coordinate $x$, $y$ e $z$, e non sulle coordinate primate dalle quali dipende la variabile di integrazione, ed inoltre il rotore di una divergenza è identicamente nullo, in quanto i campi conservativi sono irrotazionali.

A questo punto è possibile passare dalla forma differenziale a quella integrale: se la divergenza del vettore $\mathbf B$ è identicamente nulla, un suo qualunque integrale di volume sarà anch'esso nullo. E dunque, sfruttando il teorema della divergenza, il flusso di $\mathbf B$ attraverso la frontiera del volume sarà nullo.

Applicazioni

Per approfondire, vedi Applicazioni del teorema del flusso.

Il teorema di Gauss facilita enormemente il calcolo di campi gravitazionali ed elettrostatici in presenza di simmetrie del sistema, mediante la scelta di opportune superfici gaussiane sulle quali sia particolarmente semplice il calcolo del flusso, cioè di solito dove il campo è nullo o costante.

Un caso notevole è quello del campo gravitazionale generato da una sfera omogenea di massa M e raggio R (come può esserlo un pianeta, in prima approssimazione). Scegliendo come superficie sulla quale calcolare il flusso una sfera concentrica di raggio r otteniamo immediatamente:

$\Phi_{\partial V}(\mathbf g)=\oint_{\partial V} \mathbf g \cdot \mbox{d}S = -g \oint_{\partial V} \mbox{d}S = -g \cdot 4 \pi r^2$

avendo usato il fatto che il campo è per simmetria punto per punto perpendicolare alla superficie e costante in modulo su di essa. Applicando il teorema di Gauss:

$\Phi_{\partial V}(\mathbf g) =-4 \pi r^2 g =-4 \pi GM_V$

Da qui distinguiamo i due casi:

$\begin{cases} g=\frac{GM_V}{r^2} \qquad \quad R \le r \\ g=\frac{GM_V}{R^3}r \qquad 0 \le r \le R\end{cases}$

Vettorialmente, tenendo conto della direzione del campo:

$\begin{cases} \mathbf g=-\frac{GM_V}{r^2}\hat r \qquad \quad R \le r \\ \mathbf g=-\frac{GM_V}{R^3}\mathbf r \qquad 0 \le r \le R\end{cases}$

Notiamo che l'andamento del campo all'esterno è uguale a quello di una carica puntiforme posizionata nel centro della sfera su cui sia concentrata tutta la massa M; inoltre il campo esterno non dipende dalla distribuzione della massa nella sfera (purché la densità sia radiale, pena la perdita della simmetria sferica).

In perfetta analogia, il campo elettrico generato nel vuoto da una sfera con una densità di carica elettrica ρ costante vale:

$\begin{cases} \mathbf E=\frac{Q_V}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r^2}\hat r \qquad \quad R \le r \\ \mathbf E=\frac{Q_V}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{R^3}\mathbf r \qquad 0 \le r \le R\end{cases}$

dove Q rappresenta la carica totale posseduta dalla sfera.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2
• John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999. ISBN 047130932X

Voci correlate

• Applicazioni del teorema del flusso
• Campo vettoriale
• Campo elettrico
• Campo magnetico
• Distribuzione (matematica)
• Forza di Coulomb
• Induzione elettrica
• Interazione elettromagnetica
• Interazione gravitazionale
• Superficie (matematica)
• Teorema della divergenza

Portale Elettromagnetismo

Portale Matematica

Portale Meccanica