Leggi di Fick

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Nell'ambito della matematica e dei fenomeni di trasporto, le leggi di Fick sono equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche non lineari che descrivono le variazioni di concentrazione nei materiali in cui sono in atto fenomeni di diffusione molecolare in assenza di diffusione termica, che invece viene tenuta in conto dalla più generale legge di Soret. Prendono il nome dal fisiologo tedesco Adolf Fick che per primo le sviluppò nel 1855.[1]

Un esempio pratico di diffusione può essere quello di una goccia di caffè in una tazza di latte: attraverso la diffusione le sostanze che costituiscono la goccia di caffè si muovono (o meglio "diffondono") nel latte miscelandosi ad esso e tale moto di diffusione continua fino all'ottenimento di una miscela di concentrazione uniforme; l'uniformità della concentrazione è indicata dal fatto che la miscela di caffè e latte ottenuta presenta un colore uniforme.

La legge di Fick viene anche utilizzata nello studio del trasporto di materia attraverso membrane biologiche.[2][3]

Qualsiasi grandezza scalare immersa in un fluido che si muove con velocità - \nabla D è sottoposta ad un moto browniano, ovvero ad una diffusione spaziale e temporale nel fluido stesso. Detta \phi la grandezza che si diffonde, la legge che regola questa diffusione è:

\frac{\partial \phi}{\partial t}-\nabla D\cdot\nabla \phi=D \nabla^2 \phi

Prima legge di Fick[modifica | modifica wikitesto]

La prima legge descrive la diffusione nelle dimensioni spaziale ed è perciò sufficiente solo in condizioni stazionarie:

\vec J= - \nabla (D \phi)

Dove j è la fluenza della specie diffondente (dimensionalmente [L]-2 [T]-1), il nabla esprime la derivata spaziale, D è la diffusività (dimensionalmente [L]2 [T]-1) e \phi è la concentrazione della specie diffondente (dimensionalmente [L]-3) [4]: il segno negativo esprime il movimento della corrente da una concentrazione più alta ad una più bassa. Sviluppando il gradiente si ottiene:

\vec J= - D \nabla \phi - \phi \nabla D = - D \nabla \phi - \phi \vec v

dove v è la velocità della specie. Se la diffusione è isotropa, l'equazione si riduce a:

\vec J = - D \nabla \phi

Seconda legge di Fick[modifica | modifica wikitesto]

La seconda legge di Fick è un'equazione di bilancio che descrive il processo di diffusione nella dimensione temporale:

\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot \vec J = 0

Diffusione molecolare[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Equazione del calore.

Il sistema delle due leggi di Fick porta ad una equazione della diffusione (equazione del calore), detta di Fick:

\frac{\partial \phi}{\partial t} = \nabla \cdot (\,D\,\nabla\,\phi\,)

Essa può essere ulteriormente generalizzata nell'equazione di Smoluchowski. Scendendo invece nel particolare si distinguono due casi notevoli per la semplificazione che introducono:

  • Se il flusso \phi è costante nel tempo l'equazione diventa:
D\, \nabla^2 \phi\ + \vec v \cdot \nabla \phi = 0
  • Se la diffusività D è uniforme l'equazione si riduce nel laplaciano:
\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\, \nabla^2 \phi

Se si verificano entrambe le condizioni di uniformità diffusiva e stazionarietà si ha l'equazione di Laplace:

 \nabla^2\,\phi =0

Generalizzazione per mezzi non omogenei e anisotropi[modifica | modifica wikitesto]

In mezzi non omogenei il coefficiente di diffusione è funzione dello spazio, cioè D=D(x), e tale dipendenza spaziale non influisce sulla prima legge. La seconda si modifica come segue:

\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot (D(x) \nabla \phi(x,t))=D(x) \Delta \phi(x,t)+\sum_{i=1}^3 \frac{\partial D(x)}{\partial x_i} \frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x_i}\

In mezzi anisotropi il coefficiente di diffusione dipende dalla direzione. Si tratta di un tensore simmetrico D=D_{ij}, e la prima legge diventa:

J=-D \nabla \phi

che è il prodotto di un tensore ed un vettore:

J_i=-\sum_{j=1}^3D_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x_j}

Per l'equazione del calore questa formula fornisce:

\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot (D \nabla \phi(x,t))=\sum_{j=1}^3D_{ij} \frac{\partial^2 \phi(x,t)}{\partial x_i \partial x_j}\

Affinché il membro alla destra sia un operatore ellittico, la matrice simmetrica dei coefficienti di diffusione D_{ij} deve essere positiva.

Per mezzi che sono non-omogenei e anisotropi le due forme dell'equazione del calore sono combinate:

\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot (D(x) \nabla \phi(x,t))=\sum_{i,j=1}^3\left(D_{ij}(x) \frac{\partial^2 \phi(x,t)}{\partial x_i \partial x_j}+ \frac{\partial D_{ij}(x)}{\partial x_i } \frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x_j}\right)\

Farmacocinetica[modifica | modifica wikitesto]

Quando la legge di Fick viene applicata all’assorbimento tramite trasporto passivo di una molecola attraverso una membrana biologica assume l’aspetto dell’equazione:

\frac{dM}{dt} = \frac{D\cdot A \cdot (K_1\cdot C_1 - K_2\cdot C_2)}{h}

dove:

  • dM/dt è la quantità di sostanza assorbita nell'unità di tempo (velocità di assorbimento)
  • D è la coefficiente di diffusione della molecola (dipende dalle caratteristiche chimico-fisiche della sostanza e dalla viscosità della soluzione)
  • A è la superficie della membrana interessata all'assorbimento
  • K_1 è il coefficiente di partizione della molecola tra membrana e fluido donatore
  • C_1 è la concentrazione della molecola al sito di assorbimento (fluido donatore)
  • K_2 è il coefficiente di partizione della molecola tra membrana e fluido accettore
  • C_2 è la concentrazione della molecola nel torrente circolatorio (fluido accettore)
  • h è lo spessore della membrana (inteso come spessore eterogeneo formato da n strati cellulari)

Considerando il sangue (fluido accettore) come un serbatoio infinito e considerando quindi C_2 << C_1 la formula può essere semplificata:

\frac{dM}{dt} = \frac{D\cdot A \cdot K_1\cdot C_1}{h}

Considerando inoltre una specifica via di assorbimento per quella molecola i valori D, K_1 e h diventano delle costanti, per cui il rapporto \frac{D\cdot K_1}{h} diventa anch'esso una costante espressa con P che rappresenta la costante di permeabilità della molecola. La formula derivata dalla legge di Fick può quindi essere ulteriormente semplificata:

\frac{dM}{dt} = P\cdot A\cdot C_1

La legge di Fick in questa accezione rappresenta il comportamento ideale di un soluto che attraversa una membrana biologica. Nella pratica tuttavia tale valore non è mai rispettato, in quanto l'equazione non tiene conto di alcuni parametri quali l'eventuale pKa della sostanza, il logPOW assoluto e le dimensioni delle molecole, tutti fattori determinanti nelle dinamiche di assorbimento.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Adolf Fick nell’Enciclopedia Treccani
  2. ^ La legge di Fick
  3. ^ Legge di Fick
  4. ^ Bird, pp. 511-512

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lightfoot, Fenomeni di trasporto, a cura di Enzo Sebastiani, Milano, Casa editrice ambrosiana, 1979, ISBN 88-408-0051-4.
  • (EN) W.F. Smith, Foundations of Materials Science and Engineering 3rd ed., McGraw-Hill (2004)
  • (EN) H.C. Berg, Random Walks in Biology, Princeton (1977)
  • (EN) R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena, John Wiley & sons, (1976)
  • (EN) J. Crank, The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press (1980)
  • (EN) Thermodynamics and Kinetics in Materials Science: A Short Course. Bokshtein, B. S. Mendelev, M. I. Srolovitz, D. J. Eds. Oxford University Press: Oxford (2005) – pp. 167–171.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]