Leggi di Fick

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Le leggi di Fick sono equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche non lineari che descrivono le variazioni di concentrazione nei materiali in cui sono in atto fenomeni di diffusione molecolare in assenza di diffusione termica, che invece viene tenuta in conto dalla più generale legge di Soret. Prendono il nome dal fisiologo tedesco Adolf Fick che per primo le sviluppò nel 1855.[1]

Un esempio pratico di diffusione può essere quello di una goccia di caffè in una tazza di latte. La legge di Fick viene anche utilizzata nello studio del trasporto di materia attraverso membrane biologiche.[2][3]

Qualsiasi grandezza scalare immersa in un fluido che si muove con velocità - \nabla D è sottoposta ad un moto browniano, ovvero ad una diffusione spaziale e temporale nel fluido stesso. Detta φ la grandezza che si diffonde, la legge che regola questa diffusione è:

\frac{\partial \phi}{\partial t}-\nabla D\cdot\nabla \phi=D \nabla^2 \phi

Le leggi di Fick[modifica | modifica wikitesto]

Prima legge di Fick[modifica | modifica wikitesto]

La prima legge descrive la diffusione nelle dimensioni spaziale ed è perciò sufficiente solo in condizioni stazionarie:

\vec J= - \nabla (D \phi) .

Dove j è la fluenza della specie diffondente (dimensionalmente [L]-2 [T]-1), il nabla esprime la derivata spaziale, D è la diffusività (dimensionalmente [L]2 [T]-1) e φ è la concentrazione della specie diffondente (dimensionalmente [L]-3) [4]: il segno negativo esprime il movimento della corrente da una concentrazione più alta ad una più bassa. Sviluppando il gradiente si ottiene:

\vec J= - D \nabla \phi - \phi \nabla D = - D \nabla \phi - \phi \vec v,

dove v è la velocità della specie. Se la diffusione è isotropa, l'equazione si riduce a :\vec J = - D \nabla \phi.

Seconda legge di Fick[modifica | modifica wikitesto]

La seconda legge di Fick è un'equazione di bilancio che descrive il processo di diffusione nella dimensione temporale:

\frac{\partial \phi}{\partial t} +  \nabla \cdot \vec J = 0 .


Diffusione molecolare secondo Fick[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazione della diffusione.

Il sistema delle due leggi di Fick porta ad una equazione della diffusione, detta di Fick:

\frac{\partial \phi}{\partial t} =  \nabla \cdot (\,D\,\nabla\,\phi\,)

Essa può essere ulteriormente generalizzata nell'equazione di Smoluchowski. Scendendo invece nel particolare si distinguono due casi notevoli per la semplificazione che introducono:

  • Se il flusso φ è costante nel tempo l'equazione diventa:D\, \nabla^2 \phi\ + \vec v \cdot \nabla \phi\ = 0
  • Se la diffusività D è uniforme l'equazione si riduce nel laplaciano:\frac{\partial \phi}{\partial t} =  D\, \nabla^2 \phi\,

Se si verificano entrambe le condizioni di uniformità diffusiva e stazionarietà si ha l'equazione di Laplace: \nabla^2\,\phi =0.

Legge di fick applicata alla farmacocinetica[modifica | modifica wikitesto]

Quando la legge di Fick viene applicata all’assorbimento tramite trasporto passivo di una molecola attraverso una membrana biologica assume l’aspetto dell’equazione:

\frac{dM}{dt} = \frac{D\cdot A \cdot (K_1\cdot C_1 - K_2\cdot C_2)}{h}

dove:

  • dM/dt = quantità di sostanza assorbita nell’unità di tempo (velocità di assorbimento)
  • D = coefficiente di diffusione della molecola (dipende dalle caratteristiche chimico-fisiche della sostanza e dalla viscosità della soluzione)
  • A = superficie della membrana interessata all’assorbimento
  • K1 =coefficiente di partizione della molecola tra membrana e fluido donatore
  • C1 = concentrazione della molecola al sito di assorbimento (fluido donatore)
  • K2 =coefficiente di partizione della molecola tra membrana e fluido accettore
  • C2 = concentrazione della molecola nel torrente circolatorio (fluido accettore)
  • h = spessore della membrana (inteso come spessore eterogeneo formato da n strati cellulari)

Considerando il sangue (fluido accettore) come un serbatoio infinito e considerando quindi C_2 << C_1 la formula può essere semplificata:

\frac{dM}{dt} = \frac{D\cdot A \cdot K_1\cdot C_1}{h}

Considerando inoltre una specifica via di assorbimento per quella molecola i valori D, K_1 e h diventano delle costanti, per cui il rapporto \frac{D\cdot K_1}{h} diventa anch'esso una costante espressa con P che rappresenta la costante di permeabilità della molecola. La formula derivata dalla legge di Fick può quindi essere ulteriormente semplificata:

\frac{dM}{dt} = P\cdot A\cdot C_1

La legge di Fick in questa accezione rappresenta il comportamento ideale di un soluto che attraversa una membrana biologica. Nella pratica tuttavia tale valore non è mai rispettato, in quanto l'equazione non tiene conto di alcuni parametri quali l'eventuale pKa della sostanza, il logPOW assoluto e le dimensioni delle molecole, tutti fattori determinanti nelle dinamiche di assorbimento.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Adolf Fick nell’Enciclopedia Treccani
  2. ^ La legge di Fick
  3. ^ Legge di Fick
  4. ^ Bird, op. cit., pp. 511-512

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]