Teorema della divergenza

Il teorema della divergenza, o teorema di Ostrogradskij o talvolta meno propriamente teorema di Gauss, è la generalizzazione a domini n-dimensionali del teorema fondamentale del calcolo integrale. A sua volta, esso è un caso speciale del più generale teorema di Stokes.

L'enunciato afferma che il flusso di un campo vettoriale F sufficientemente regolare attraverso una superficie chiusa S, coincide con l'integrale della divergenza svolto nel volume V delimitato da S. In simboli

$\int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} dv = \int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$

con sufficientemente regolare si intende un campo di classe C¹, ovvero derivabile e con derivata continua, in un intorno aperto del dominio.

Cenni storici

Il teorema è stato enunciato per la prima volta da Joseph Louis Lagrange nel 1762; Carl Friedrich Gauss (1813) e George Green (1825) ne forniscono formulazioni equivalenti in maniera del tutto indipendente. La prima dimostrazione appare però solo nel 1831 ad opera di Michail Ostrogradskij.

Significato fisico della divergenza

Consideriamo un punto dello spazio tridimensionale e una base ortonormale i, j, k. Intorno a quel punto, possiamo costruire un cubo infinitesimo di volume dv concorde con quella terna; indichiamo con ds la superficie di una faccia. Il flusso (uscente) del campo attraverso le superfici normali al versore j, diretto dalla faccia inferiore (F_inf) a quella superiore (F_sup), è dato da

$\left [\mathbf{F}_\text{sup} - \mathbf{F}_\text{inf} \right] \cdot \mathbf{j} d s= \frac{\partial F_j}{\partial j} dj d s$

un discorso simile vale per le altre coppie di facce, quelle ortogonali a i ed a k. Sommando i tre contributi, si ottiene il flusso totale; considerato inoltre che $di \, d s= dj \, d s= dk \, d s= dv$, si ha

$d \Phi = \left (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \right) dv$

la divergenza del campo rappresenta quindi il flusso attraverso una superficie cubica, su unità di volume. Le considerazioni esposte si possono estendere ad una regione dello spazio qualunque delimitata da una superficie S: suddividendo il dominio in una moltitudine di cubetti infinitesimi, e sommando tutti i dΦ associati, si ottiene infatti il flusso attraverso la superficie limite. Questo risultato deriva dal semplice fatto che una faccia a comune con una coppia di cubi dà luogo a contributi di flusso che si elidono a vicenda: solo le facce "libere", cioè quelle situate su S, sono rilevanti in questo senso. Si è così dimostrato l'enunciato del teorema in tre dimensioni (ma la generalizzazione al caso n-dimensionale è immediata).

Divergenza in coordinate curvilinee

Il teorema della divergenza può essere usato per esprimere la divergenza in un sistema di coordinate curvilinee. Tanto per fissare le idee, consideriamo un riferimento sferico; ogni volta che varia una coordinata (e le altre rimangono ferme) di una quantità infinitesima, viene percorso un arco di lunghezza opportuna dh

1. al variare della distanza radiale r:
   $dh_r = h_r \, dr = dr$
2. al variare dell'angolo zenitale θ:
   $dh_{\theta} = h_{\theta} \, d \theta = r \, d \theta$
3. al variare dell'angolo azimutale ψ:
   $dh_{\psi} = h_{\psi} \, d \psi = r \, \mathrm{sen} \, \theta \, d \psi$

a questo punto, possiamo calcolare facilmente i contributi di flusso come abbiamo fatto in coordinate cartesiane, prendendo stavolta il cubetto individuato dalle linee coordinate (si veda la figura). Ad esempio, il flusso attraverso le facce normali alla direzione radiale è

$dh_{\theta}(r+dr)dh_{\psi}(r+dr)F_r(r+dr) - dh_{\theta}(r)dh_{\psi}(r)F_r(r) = \frac{\partial dh_{\theta}dh_{\psi}F_r}{\partial r} dr$

Elemento di volume in coordinate sferiche

formule analoghe valgono per le altre componenti. La divergenza del campo si ottiene dividendo il flusso totale per il volume del cubetto, $dv = h_rh_{\theta}h_{\psi} \, dr d \theta d \psi$

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{ h_rh_{\theta}h_{\psi} } \left [\frac{\partial}{\partial r} \left (h_{\theta}h_{\psi}F_r \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left (h_rh_{\psi}F_{\theta} \right) + \frac{\partial}{\partial \psi} \left (h_rh_{\theta}F_{\psi} \right) \right]$

questa uguaglianza vale ovviamente in un generico sistema di riferimento, ma nel caso considerato può essere esplicitata banalmente sostituendovi le espressioni 1, 2 e 3 che definiscono i coefficienti metrici h in coordinate sferiche (essi rappresentano le lunghezze degli archi elementari rapportate agli incrementi delle coordinate che li hanno prodotti)

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} = \left [\frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2F_r}{\partial r} + \frac{1}{r \mathrm{sen} \, \theta} \frac{ \partial \mathrm{sen} \, \theta F_{\theta} }{\partial \theta} + \frac{1}{r \mathrm{sen} \, \theta} \frac{ \partial F_{\psi} }{\partial \psi} \right]$

relazioni simili sono valide, ad esempio, in coordinate cilindriche. Si consiglia di dedurle utilizzando il metodo sopra esposto.

Applicazioni

Equazione di continuità

Per approfondire, vedi la voce equazione di continuità.

Supponiamo di avere una distribuzione di massa con densità ρ, che si muove nel punto r a velocità v(r). La quantità di materia che attraversa la superficie ds lungo la normale n nel tempo dt è data da (si pone ds = dsn)

$\rho d\mathbf{s} \cdot \mathbf{v} dt$

si tratta semplicemente del flusso della densità di corrente J, ρv (per dt). In assenza di fenomeni di creazione e distruzione all'interno di un determinato volume V, la materia uscente dalla superficie limite S nel tempo dt coincide esattamente con la variazione della massa interna cambiata di segno

$\oint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} \ dt = - \frac{\partial}{\partial t} \iiint_V \rho dv \ dt$

usando il teorema della divergenza ed eliminando le integrazioni sul volume (data l'arbitrarietà di V), si ottiene

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}$

che è proprio l'equazione di continuità: essa esprime la principale legge fisica di conservazione, e viene utilizzata in un gran numero di contesti, dalla fluidodinamica alla meccanica quantistica. In un liquido incomprimibile ad esempio, la densità di massa non varia mai nel tempo e la corrente ha pertanto divergenza nulla. Ciò tra l'altro suggerisce una maniera di interpretare flussi di questo tipo, che vengono detti stazionari.

Connessione con altri operatori

Prendiamo un campo scalare f e il versore j, e applichiamo al campo f j il teorema della divergenza

$\oint_S f \mathbf{j} \cdot \ d\mathbf{s} = \iiint_V \mathbf{\nabla} \cdot f \mathbf{j} \ dv = \iiint_V \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{j} \ dv$

nell'ultima uguaglianza compare l'operatore gradiente. Questo risultato rimane ovviamente valido se si sostituisce a j un qualunque altro versore della terna ortonormale: quindi

$\oint_S f d\mathbf{s} = \iiint_V \mathbf{\nabla} f dv$

la relazione ottenuta riveste una certa utilità in alcuni contesti. Se invece si considera un campo tridimensionale F e il corrispondente prodotto vettoriale j × F, procedendo in maniera analoga si ottiene una formula simile in funzione del rotore

$\oint_S d\mathbf{s} \times \mathbf{F} = \iiint_V \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} dv.$

Bibliografia

• Georg Joos, Ira M. Freeman. Theoretical Physics. Courier Dover Publications, 1987

Voci correlate

• Identità di Green - due corollari a due funzioni del Teorema di Ostrograskij
• Teorema di Torricelli-Barrow
• Teorema di Kelvin
• Teorema di Stokes

Collegamenti esterni

• Weisstein, Eric W.. Divergence Theorem. MathWorld -- A Wolfram Web Resource

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