Teorema della divergenza

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In matematica e fisica, il teorema della divergenza, anche detto teorema di Ostrogradskij per il fatto che la prima dimostrazione è dovuta a Michail Ostrogradskij, è la generalizzazione a domini n-dimensionali del teorema fondamentale del calcolo integrale. A sua volta, esso è un caso speciale del più generale teorema di Stokes.

Talvolta il teorema è meno propriamente detto teorema di Gauss poiché fu storicamente congetturato da Carl Gauss, da non confondere col teorema di Gauss-Green, che invece è un caso speciale (ristretto a 2 dimensioni) del teorema del rotore, o con il teorema del flusso.

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema è stato enunciato per la prima volta da Giuseppe Luigi Lagrange nel 1762; Carl Friedrich Gauss (1813) e George Green (1825) ne forniscono formulazioni equivalenti in maniera del tutto indipendente. La prima dimostrazione appare però solo nel 1831 ad opera di Michail Ostrogradskij.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Una regione V delimitata da \partial V, con \mathbf{n} il versore normale uscente.

Si consideri un insieme V \subset \R^n compatto delimitato da una superficie liscia \partial V. Se \mathbf{F} è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe C^1) definito in un intorno di V, si ha:[1]

\int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} \, dV = \oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}

dove d\mathbf{S} = \mathbf{n} \ d S è l'elemento di superficie. In altri termini, il flusso di \mathbf{F} attraverso la superficie chiusa \partial V coincide con l'integrale della divergenza di \mathbf{F} svolto nel volume V di cui la superficie è frontiera.[2] Il termine a sinistra è pertanto un integrale di volume su V, quello a destra è un integrale di superficie. Il vettore \mathbf{n} è il versore uscente normale alla superficie.

In modo più generale, si può utilizzare il teorema di Stokes per uguagliare l'integrale su un volume n-dimensionale della divergenza di un campo vettoriale \mathbf{F} definito sulla regione U \subset \R^n all'integrale di \mathbf{F} sulla superficie (di dimensione n-1) che costituisce il bordo di U:

 \int_U \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV_n = \oint_{\partial U} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS_{n-1}

In una notazione più concisa si può scrivere:

\int_V \dfrac{\partial F_i}{\partial x_i}dV= \int_S F_i n_i\,dS

sicché rimpiazzando \mathbf{F} con un campo tensoriale T di ordine n si ottiene la generalizzazione:[3]

\int_V \dfrac{\partial T_{i_1i_2\cdots i_q\cdots i_n}}{\partial x_{i_q}}dV= \int_S T_{i_1i_2\cdots i_q\cdots i_n}n_{i_q}\,dS

dove si verifica la contrazione degli indici in entrambi i membri della relazione, per almeno un indice. Si può estendere la precedente relazione, che vale in tre dimensioni, a varietà di dimensione arbitraria.[4][5]

Corollari[modifica | modifica wikitesto]

Applicando il teorema della divergenza in altri contesti si ottengono utili identità matematiche.[6]

  • Nel caso del prodotto di una funzione scalare g ed un campo vettoriale \mathbf{F} si ha:
\int_V \left[\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)\right] dV = \oint_{\partial V} g\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} \ dS
Un caso speciale è \mathbf{F}=\nabla f, in cui il teorema è alla base delle identità di Green.
\int_V \left[\mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right)\right]\, dV = \oint_{\partial V} \mathbf F\times\mathbf{G}\cdot d\mathbf{s}
  • Nel caso del prodotto di una funzione scalare f ed un vettore non nullo costante, si può mostrare che vale il seguente teorema:[2]
\int_V \nabla f\, dV = \oint_{\partial V} f d\mathbf{S}
  • Nel caso del prodotto vettoriale di un campo vettoriale \mathbf{F} ed un vettore non nullo costante, si può mostrare che vale il seguente teorema:[2]
\int_V \nabla\times\mathbf{F}\, dV = \oint_{\partial V}  d \mathbf{S}\times \mathbf{F}

Divergenza in coordinate curvilinee[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Divergenza.
Elemento di volume in coordinate sferiche.

Il teorema della divergenza può essere usato per esprimere la divergenza in un sistema di coordinate curvilinee. Si consideri un riferimento sferico: ogni volta che si varia una coordinata di una quantità infinitesima viene percorso un arco di lunghezza opportuna dh. Al variare della distanza radiale r si ha dh_r = h_r \, dr = dr, al variare dell'angolo \theta si ha dh_{\theta} = h_{\theta} \, d \theta = r \, d \theta mentre al variare dell'angolo \psi si ha che dh_{\psi} = h_{\psi} \, d \psi = r  \, \mathrm{sen} \, \theta \, d \psi. Si possono così calcolare i contributi di flusso come nel caso delle coordinate cartesiane. Ad esempio, il flusso attraverso le facce del cubo in figura normali alla direzione radiale è:

dh_{\theta}(r+dr)dh_{\psi}(r+dr)F_r(r+dr) - dh_{\theta}(r)dh_{\psi}(r)F_r(r) = \frac{\partial dh_{\theta}dh_{\psi}F_r}{\partial r} dr

e formule analoghe valgono per le altre componenti. La divergenza del campo si ottiene dividendo il flusso totale per il volume dv = h_rh_{\theta}h_{\psi} \, dr d \theta d \psi del cubo:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{ h_rh_{\theta}h_{\psi} } \left [\frac{\partial}{\partial r} \left (h_{\theta}h_{\psi}F_r \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left (h_rh_{\psi}F_{\theta} \right) + \frac{\partial}{\partial \psi} \left (h_rh_{\theta}F_{\psi} \right) \right]

Questa uguaglianza vale in un generico sistema di riferimento, ma nel caso considerato può essere esplicitata sostituendovi le espressioni che definiscono i coefficienti metrici h in coordinate sferiche (essi rappresentano le lunghezze degli archi elementari rapportate agli incrementi delle coordinate che li hanno prodotti):

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{F} = \left [\frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2F_r}{\partial r} + \frac{1}{r \mathrm{sen} \, \theta} \frac{ \partial \mathrm{sen} \, \theta F_{\theta} }{\partial \theta} + \frac{1}{r \mathrm{sen} \, \theta} \frac{ \partial F_{\psi} }{\partial \psi} \right]

e relazioni simili sono valide, ad esempio, in coordinate cilindriche.

Equazione di continuità[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di continuità.

La forma differenziale dell'equazione di continuità può essere derivata utilizzando il teorema della divergenza. Si supponga che una quantità q sia contenuta in una regione di volume V il cui contorno è \partial V. Se tale quantità incrementa nel tempo, essa può essere scritta come la somma di quella contenuta nel volume più un incremento:

q(t) = \int_V \varphi(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V + \int^t\Sigma(t')\mathrm{d}t'

La variazione di q è espressa dalla derivata temporale:

 \frac{\partial q(t)}{\partial t} = -\frac{\partial }{\partial t} \int_V \varphi(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V + \Sigma(t) = \oint_{\partial V} \mathbf{f}(\mathbf{r},t)\cdot\mathrm{d}\bold{S}

ed usando il teorema della divergenza:

\int_V \nabla\cdot\mathbf{f}(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V = -\int_V \frac{\partial \varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} \mathrm{d}V + \int_V \sigma(\mathbf{r},t) \mathrm{d}V

Tale relazione è vera solo se gli integrandi sono uguali, ovvero:

\nabla\cdot\mathbf{f}(\mathbf{r},t) = - \frac{\partial \varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \sigma(\mathbf{r},t)

Connessione con altri operatori[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Gradiente e Rotore (matematica).

Si consideri un campo scalare f ed un versore \mathbf j. Applicando al campo f \mathbf j il teorema della divergenza si ottiene:

\oint_{\partial V} f \mathbf{j} \cdot \ d\mathbf{s} = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot f \mathbf{j} \ dv = \int_V \mathbf{\nabla} f \cdot \mathbf{j} \ dv

dove nell'ultima uguaglianza compare l'operatore gradiente. Questo risultato rimane valido se si sostituisce a \mathbf j un qualunque altro versore della terna ortonormale. Quindi si ha:

\oint_{\partial V} f d\mathbf{s} = \int_V \mathbf{\nabla} f dv

e la relazione ottenuta riveste una certa utilità in alcuni contesti. Se invece si considera un campo tridimensionale \mathbf F e il corrispondente prodotto vettoriale \mathbf j \times \mathbf F, procedendo in maniera analoga si ottiene una formula simile in funzione del rotore:

\oint_{\partial V} d\mathbf{s} \times \mathbf{F} = \int_V \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} dv

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition), Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.
  2. ^ a b c Eric Weisstein, MathWorld - Divergence Theorem, 2010.
  3. ^ K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3.
  4. ^ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, pp. 85–86, §3.5, ISBN 0-7167-0344-0.
  5. ^ R. Penrose, The Road to Reality, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1.
  6. ^ M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis, 2nd, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Georg Joos, Ira M. Freeman. Theoretical Physics. Courier Dover Publications, 1987
  • (EN) R.G. Lerner, G.L. Trigg, Encyclopaedia of Physics, 2nd, VHC publishers, 1994, ISBN 3-527-26954-1.
  • (EN) C.B. Parker, McGraw Hill Encyclopaedia of Physics, 2nd, McGraw Hill, 1994, ISBN 0-07-051400-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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